Estatística – Desvio médio, desvio padrão e variância

Aprenda sobre Medidas de Dispersão,  Desvio Médio, Desvio Padrão e Variância.

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MEDIDAS DE DISPERSÃO

Medir a dispersão é analisar o quanto os valores de um conjunto se afastam de uma regularidade. É verificar o quanto os elementos de um conjunto respeitam um padrão. Veremos a seguir os conceitos de variância e desvio padrão, que são medidas de dispersão, que indicam a regularidade de um conjunto de dados, em função da média aritmética.

DESVIO MÉDIO

Se  é a média aritmética de uma amostra de números x1, x2, … , xn, chama-se desvio absoluto médio o número:

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Exercício resolvido

1) A tebela mostra a série de um indicador econômico de um país, em bilhões de US$, nos 12 meses de 2013.

Jan

Fev

Mar

Abr

Mai

Jun

Jul

Ago

Set

Out

Nov

Dez

21

24

20

23

22

22

18

17

16

17

16

18

a) Calcule a média, a(s) moda(s), a mediana e a maior taxa mensal de crescimento (em porcentagem) dessa série.

b) Sabe-se que, em janeiro de 2014, esse indicador econômico atingiu um valor positivo para o qual a nova série (de janeiro de 2013 até janeiro de 2014) passou a ter mediana de 18 bilhões de US$, e um número inteiro de bilhões de US$ como média mensal. Calcule o desvio médio (DM) dessa nova série.

Dado: Desvio Médio = , sendo  a média aritmética.

Solução:

A) A média:

A moda:

São os valores: 16, 17, 18 e 22, pois estes valores aparecem duas vezes cada na série apresentada acima

A mediana:

Colocando os búmeros em ordem crescente, temos:

(16, 16, 17, 17, 18, 18, 20, 21, 22, 22, 23, 24)

Logo,

Maior taxa de crescimento:

Ocorreram aumentos entre:


Portanto, a maior taxa mensal de crescimento ocorreu entre Março e Abril.

B) A média:

A mediana:

Em ordem crescente, e sabendo que a mediana é 18, temos que em Jan de 2014 o valor é menor ou igual a 18. Portanto, considerando estes fatos, temos que x vale 13, pois dará um número divisível por 13.

Observe:

(13, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 20, 21, 22, 22, 23, 24) que nos dá mediana 18.

E média mensal:

Cálculo do Desvio Médio =  , sendo  a média aritmética.




VARIÂNCIA

Considere uma amostra representada por {x1, x2, …., xn}  de n observações numéricas. A variância de uma população (Var(x)) é definida por:

 

Onde  é a média aritmética da distribuição.

Exemplo:

Três pessoas irão disputar um emprego em uma empresa multinacional. Após a entrevista, onde os três foram bem, a empresa decidiu colocá-los para fazer uma prova sobre assuntos relativos ao trabalho que executarão. Cada candidato fará cinco provas. Ao final das cinco provas, os três candidatos tiveram a mesma média, e dessa forma a empresa optou por selecionar o candidato com uma maior regularidade de conhecimento sobre os assuntos, contratando então o candidato com a menor variância.

As notas dos candidatos foram:

Candidato 1: 6,0; 6,0; 6,0; 6,0; 6,0.

Candidato 2: 6,0; 7,0; 6,0; 5,0; 6,0.

Candidato 3: 8,0; 7,0; 6,0; 5,0; 4,0.

Note que as médias dos candidatos são



Calculemos a variância dos Grupos 1, 2 e 3.



Note que o candidato 1, obteve todas as notas são iguais e assim, a variância é igual a 0. Entre os candidatos 2 e 3, não temos todas notas iguais. Note que Var2(x) < Var3(x), concluímos que o candidato 2 tem notas mais regulares do que o candidato 3. Como o candidato 1 obteve a menor variância, ele será selecionado para ocupar a vaga na empresa.

DESVIO PADRÃO

O desvio padrão é outra forma de analisar a regularidade de um conjunto de valores.

O desvio padrão de uma população é dado pela raiz quadrada da variância. Logo temos:

Exemplo:

Voltemos para o exemplo anterior onde calculamos a variância de cada um dos três candidatos. Calculemos agora o desvio padrão das amostras das notas dos três candidatos.

Grupo 1: 6,0; 6,0; 6,0; 6,0; 6,0.

Grupo 2: 6,0; 7,0; 6,0; 5,0; 6,0.

Grupo 3: 8,0; 7,0; 6,0; 5,0; 4,0.

No candidato 1, a variância que encontramos foi zero. Como o desvio padrão é a raiz quadrada da variância, segue que o desvio padrão também é zero. Além disso, todos os valores do candidato 1 são iguais a 6. Sempre que todos os valores forem iguais o desvio padrão será zero.

No candidato 2, a variância encontrada foi Var2(x) = 0,4. Logo, o desvio padrão será  .

No candidato 3, a variância encontrada foi Var3(x) = 2. Logo, o desvio padrão será .

Note que, . Concluímos então que o candidato 2 tem notas mais regulares do que o candidato 3.

OBSERVAÇÃO

Quanto mais uniforme forem os valores, mais próximo de zero estará o desvio padrão.

Quando todos valores são iguais o desvio padrão é zero. Assim a amostra é perfeitamente uniforme.

Quando estamos interessados em saber qual conjunto de valores possui uma maior regularidade podemos usar tanto a variância, como o desvio padrão.

O desvio padrão é expresso na mesma unidade de medida das variáveis do conjunto.

Se estivermos interessados em saber com mais precisão o quanto cada conjunto se afastou de uma uniformidade, é melhor calcular o desvio padrão, já que ele se encontra na mesma unidade de medida dos dados apresentados.

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