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GRAVITAÇÃO

GRAVITAÇÃO

É o estudo das forças de atração entre massas (forças de campo gravitacional) e dos movimentos de corpos submetidos a essas forças.

Cada civilização conhecida teve uma história de como o mundo se originou e evoluiu, de como os homens surgiram e dominaram a Terra e de como deuses e figuras mitológicas controlavam as forças da natureza e favoreciam ou puniam os homens. O entendimento do universo foi para cada civilização antiga algo muito distinto do que conseguimos observar hoje com o avanço científico.

MODELOS ASTRONÔMICOS

Modelos Geocêntricos → A Astronomia nasceu da observação dos movimentos diários do Sol, da Lua e dos demais corpos celestes visíveis a olho nu. Uma hipótese, que perdurou por séculos, foi a de que os astros giravam em torno da Terra, fazendo surgir o que é conhecido como geocentrismo.

Os pitagóricos elaboram o primeiro modelo geocêntrico do Universo que se tem registro, constituído por 10 esferas, no Século VI a.C.

Dois séculos depois no século IV a.C, o filósofo Aristóteles reelaborou o modelo geocêntrico e dividiu o Universo em duas regiões.

1. Sublunar, no interior da esfera, abaixo da Lua, onde tudo era constituído a partir de 4 elementos: fogo, ar, água e a terra.

2. Divina ou Supralunar, externa à esfera da Lua, onde estavam as estrelas, constituídas pelo quinto elemento: a quinta-essência.

Para esclarecer o movimento circular das órbitas dos Astros, Aristóteles esquematizou um modelo conhecido como esferas homocêntricas. As esferas seriam formadas por éter, ou “quintessência”, e girariam com velocidade angular constante.

Já na era cristã, século II d.C, o egípcio Cláudio Ptolomeu introduziu os epiciclos, que seriam movimentos circulares dos planetas em torno de pontos imaginários que giravam ao redor da Terra numa órbita chamada de Deferente, este modelo foi aceito por mais de quinze séculos, sobretudo por ser coerente com a filosofia e os valores da época.

O último astrônomo conceituado a defender o geocentrismo foi Tycho Brahe (1546-1601), no modelo proposto por Tycho Brahe os planetas orbitavam em torno do Sol e estes em torno da Terra.

Modelos Heliocêntricos → Na mesma época de Aristóteles outro filósofo grego, chamado Aristarco de Samos, achava que o Sol estaria no centro do Universo e que a Terra girava ao seu redor em órbitas circulares. Contudo, essas ideias foram esquecidas durante séculos até a época do Renascimento, Nicolau Copérnico(1473-1543) retomou a ideia. Seu modelo apresentava as seguintes características:

1. o Sol no centro do Universo;

2. o Universo finito, cujo limite era a esfera das estrelas;

3. os planetas em órbitas circulares em torno do Sol.

Galileu Galilei (1564-1642) foi o primeiro cientista a observar o céu através de um telescópio (luneta). Foi defensor do sistema heliocêntrico, inicialmente da forma concebida por Copérnico.
Um importante progresso na Astronomia ocorreu com o trabalho e interpretações matemáticas do Alemão Johannes Kepler (1571-1630) que conseguiu descrever de modo preciso os movimentos planetários. Kepler verificou que existem notórias regularidades nesses movimentos e, a partir disso, apresentou três generalizações, conhecidas hoje como Leis de Kepler.

LEIS DE KEPLER

1ª Lei (Lei das Órbitas) → Em relação a um referencial no Sol, os planetas se movimentam descrevendo órbitas elípticas, ocupando o Sol um dos focos da elipse.

O ponto mais próximo do Sol é denominado periélio, e o mais afastado, afélio. Sendo dmin e dmax as distâncias do periélio e do afélio ao centro do Sol, respectivamente, definimos raio médio da órbita (R) por R = d ᵐⁱⁿ + d ᵐᵃˣ / 2

Alguns planetas como Vênus, Netuno e a própria Terra, descrevem órbitas praticamente circulares, de pequena excentricidade (dmin = dmax). Isso, entretanto, não ilegítima a Lei das Órbitas, já que uma circunferência é um caso particular de elipse em que os focos são coincidentes.

2ª Lei (Lei das Áreas) → As áreas varridas pelo vetor-posição de um planeta em relação ao centro do Sol varrem áreas iguais em intervalos de tempo iguais.

Sendo A a área e ∆t o correspondente intervalo de tempo, podemos escrever Vᵃ = A / ∆t a constante de proporcionalidade Vᵃ é chamada de velocidade areolar, ela está relacionada com a rapidez que varre o vetor posição.

Atenção, isso não significa que o movimento do planeta seja uniforme ao longo da órbita.

3ª Lei (Lei dos períodos) → Para qualquer planeta do Sistema Solar, é constante o quociente do cubo do raio médio da órbita, pelo quadrado do período de revolução (ou translação), em torno do Sol.

Kᵖ = R³ / T² 

Posteriormente descobrimos que essa relação é válida para qualquer sistema planetário, para corpos que orbitam um mesmo corpo.

K é conhecida como constante de Kepler e seu valor depende apenas da massa do corpo que é orbitado, para o nosso sistema planetário K depende da massa do Sol, e das unidades de medida.

LEI DE GRAVITAÇÃO UNIVERSAL DE NEWTON

“Dois corpos atraem-se gravitacionalmente com forças de intensidade diretamente proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que separa seus centros de gravidade”.

Detalhes: F²¹ e F¹² são forças que constituem um par ação e reação.

G é a constante de gravitação universal.

G = 6,67.10⁻¹¹N.m²/ Kg²

A força de atração gravitacional entre dois corpos de massas de objetos cotidianos, como entre um lápis e um caderno é desprezível, mas quando envolvem massas de grandes ordens de grandeza ela se torna relevante, como, por exemplo, no caso dos planetas, estrelas e dos buracos-negros.

CORPOS EM ÓRBITA

Num satélite, de massa m, em órbita circular de raio r, em torno de um planeta, de massa M, a força gravitacional que atua sobre ele assume o papel da força centrípeta:

Fᶜᵖ = F
m . V²/r = G . M .m/r²

Então, a velocidade escalar de um satélite em órbita circular e uniforme é dada por v

V = √G . M/r

Lembrando que V = ω . r = 2πr/T temos que
2π . r/T = √G . M/r
T = 2 . π . r √r/G . M
T = 2 . π √r³/G . M

onde T é o período.

Detalhes:

I. Perceba que V e T independem da massa do satélite m, dependem apenas do raio r da trajetória e da massa do corpo orbitado M. Isso significa que se dois satélites com massas diferentes orbitassem um mesmo corpo celeste a uma mesma distância (com mesmo raio da órbita) eles teriam mesma velocidade e mesmo período de translação.

II. Satélite Geoestacionário → São aqueles que se encontram parados relativamente a um ponto fixo sobre a Terra, precisam estar sobre a linha do equador. São utilizados como satélite de comunicações e de observação de regiões específicas da Terra. Isto significa que um satélite geoestacionário tem frequência de uma volta por dia.

CAMPO GRAVITACIONAL

Todo corpo possui massa, essa grandeza tem a capacidade de criar em torno de si um campo gravitacional. A intensidade desse campo depende da massa e da distância da massa geradora do campo.

A Terra (de massa M e raio R) exerce uma força de atração gravitacional sobre um corpo (de massa m) localizado em sua superfície. A distância entre o centro de gravidade da Terra e o corpo é d = R. Desprezando-se os efeitos de rotação da Terra, a força gravitacional é o peso do corpo:

m.g = G . M.m / R²

Então, a intensidade do campo gravitacional ou aceleração da gravidade na superfície da Terra é dada por:

g = G. M / R²

Onde M é a massa do planeta e R, o seu raio. Caso o corpo esteja a uma altura h em relação à superfície, a distância d passa a ser R + h e a aceleração gravitacional é modificada para:

g = G. M / (R+h)²

Nota-se que para alturas pequenas em relação ao raio da Terra, a gravidade permanece praticamente constante. A atmosfera terrestre tem espessura em torno de 10 km. Como 10 km é desprezível, comparado ao raio da Terra (6400 km), a gravidade é praticamente inalterada, desde a sua superfície até a saída da sua atmosfera.

CÁLCULO DA INTENSIDADE DA ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE NUM PONTO INTERNO AO ASTRO

Vamos considerar uma superfície esférica interna, distante em todos os pontos por r do centro.
Essa superfície envolve uma massa m menor que a massa total (M) do astro.
Sobre a superfície de raio r, temos:

Suponha que o astro tenha massa específica uniforme e igual µ. Sendo V o volume da esfera de raio r, podemos escrever:

µ = m/V

Lembrando que o volume da esfera é dado por:

V = 4/3 . πr³
Logo :
µ = m/4/3 . πr³
m = 4/3 . µ . π . r³

Substituindo a massa na relação matemática da gravidade temos

O produto de constantes é uma constante (K)
g =  K . r

OBSERVAÇÃO

Como Heliocentrismo pode cair no Enem?

O heliocentrismo e o geocentrimos são duas correntes de pensamento controversas. Ambas buscam explicar o funcionamento do Sistema Solar, cada uma dentro de uma perspectiva própria. A questão associa o tema de maneira interdisciplinar com um enfoque histórico para a situação apresentada.

(ENEM) Na linha de uma tradição antiga, o astrônomo grego Ptolomeu (100-170 d.C.) afirmou a tese do geocentrismo, segundo a qual a Terra seria o centro do Universo, sendo que o Sol, a Lua e os planetas girariam em seu redor em órbitas circulares. A teoria de Ptolomeu resolvia de modo razoável os problemas astronômicos da sua época. Vários séculos mais tarde, o clérigo e astrônomo polonês Nicolau Copérnico (1473-1543), ao encontrar inexatidões na teoria de Ptolomeu, formulou a Teoria do Heliocentrismo, segundo a qual o Sol deveria ser considerado o centro do Universo, com a Terra, a Lua e os planetas girando circularmente em torno dele. Por fim, o astrônomo e matemático alemão Johannes Kepler (1571-1630), depois de estudar o planeta Marte por cerca de trinta anos, verificou que a sua órbita é elíptica. Esse resultado generalizou-se para os demais planetas. A respeito dos estudiosos citados no texto, é correto afirmar que:

a) Ptolomeu apresentou as ideias mais valiosas, por serem mais antigas e tradicionais.

b) Copérnico desenvolveu a Teoria do Heliocentrismo inspirado no contexto político do Rei Sol.

c) Copérnico viveu em uma época em que a pesquisa científica era livre e amplamente incentivada pelas autoridades.

d) Kepler estudou o planeta Marte para atender às necessidades de expansão econômica e científica da Alemanha.

e) Kepler apresentou uma teoria científica que, graças aos métodos aplicados, pôde ser testada e generalizada.

Gabarito: E

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