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Vetores

Vetores

Aprenda sobre Grandezas Escalares e Vetoriais, Vetor, Módulo, Direção e Sentido, Operação com Vetores, Produto de um Vetor por um Escalar e Decomposição de Vetores em um Par de Eixos. 

GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS

Existem, na Física, certas grandezas, tais como massa e volume, que precisam apenas do valor numérico e da unidade, para ficarem bem definidas. Quando necessitamos de alguma informação sobre a massa de um objeto, basta conhecer o seu valor, não existe uma noção de direção e sentido. As grandezas físicas deste tipo, que precisam do valor numérico (módulo) acompanhado de sua unidade para ficarem bem definidas, recebem o nome de grandezas escalares.

Chamamos de grandezas vetoriais todas aquelas grandezas que para ficarem bem definidas necessitam, além do módulo e da unidade, que se conheça sua direção e sentido. Velocidade é um exemplo de grandeza vetorial. O aluno, ao saber que um móvel está com velocidade de 10 m/s, ainda pode perguntar: em que direção? Suponhamos que a resposta seja na direção horizontal, uma pergunta ainda persiste: em que sentido? Outros exemplos de grandezas vetoriais são: aceleração, força, impulso etc.

VETOR

Vetor é um segmento de reta orientado. O vetor possui três características da: módulo, direção e sentido.

Representa-se um vetor da seguinte forma: AB , sendo “A” a origem e “B” a extremidade. Outra forma consiste em utilizar uma letra: a.

MÓDULO, DIREÇÃO E SENTIDO

Como já foi dito, em alguns casos, uma informação não é suficiente para entendermos bem uma grandeza. E, assim sendo, devemos fazer outras perguntas.

Por exemplo, consideremos um indivíduo em um ponto qualquer do plano. Sabe-se que este indivíduo se desloca 5 m em linha reta. Apesar desta informação, não sabemos qual é a direção. Suponhamos que agora é sabido que o indivíduo se desloca em uma trajetória perpendicular à horizontal. Ainda pode haver uma pergunta: para cima ou para baixo? A resposta é para cima e agora, a grandeza está definida.

O módulo de um vetor corresponde ao comprimento do vetor, no caso 5 m. O módulo de um vetor é representado da seguinte forma: |AB| ou |a|.

Retas determinam uma direção. Retas paralelas indicam uma mesma direção. No caso, a direção é perpendicular à horizontal.

Em uma dada direção, existem dois sentidos possíveis. Na direção vertical, os dois sentidos são para cima ou para baixo. Na direção horizontal, os dois sentidos são para direita ou para esquerda

OBSERVAÇÃO

Denomina-se VERSOR, de um dado vetor v, o vetor que possui módulo unitário, isto é, módulo igual a 1 (um) e tem a mesma direção e sentido de v.

OPERAÇÃO COM VETORES

VETOR OPOSTO

Dado um vetor v, denomina-se vetor oposto (-v) aquele que possui mesmo módulo, mesma direção e sentido oposto.

ADIÇÃO VETORIAL

Dados dois vetores a e b:
Existem duas regras que podem ser utilizadas para se obter o vetor soma (s), sendo

REGRA DA POLIGONAL

A partir da extremidade de um vetor traçamos outro. Em seguida, unimos a origem do primeiro vetor traçado com a extremidade do último.

A regra da poligonal deve ser utilizada na soma de mais de dois vetores. Mesmo que se troquem a ordem dos vetores, a soma não se altera.

Exemplo:

Determine o vetor s = a + b + c 

REGRA DO PARALELOGRAMA

Esta regra somente deve ser utilizada na soma de dois vetores.

Utilizaremos os mesmos vetores a e b, do caso anterior. Coloca-se a origem de um vetor junto com a origem do outro vetor. Em seguida, traçam-se paralelas dos dois vetores nas extremidades, assim, forma-se um paralelogramo; para se obter o vetor soma, deve-se traçar a diagonal do paralelogramo a partir das origens dos vetores.

Para se obter o módulo do vetor soma, utilizaremos a lei dos cossenos. Sendo θ o ângulo formado por dois vetores de módulos a e b, o módulo do vetor soma será:

|s|² = |a|² + |b|² + 2 . |a| . |b| . cosθ

CASOS PARTICULARES

O valor máximo da soma de dois vetores acontece quando eles possuem o mesmo sentido. O valor mínimo ocorre quando os dois vetores possuem sentidos opostos.

Exemplos:

Outro caso particular ocorre quando os vetores formam um ângulo de 90º , ou seja, são perpendiculares. Nesse caso, podemos calcular o módulo do vetor resultante utilizando o teorema de Pitágoras.

SUBTRAÇÃO VETORIAL

A subtração vetorial consiste em um processo muito similar à adição vetorial. As regras são as mesmas, pois ocorre, na subtração, o mesmo processo que o da adição com o vetor oposto.

No cálculo do módulo do vetor diferença, utilizaremos as mesmas expressões vistas em adição vetorial, já que o módulo do vetor oposto é o mesmo do vetor original.

PRODUTO DE UM VETOR POR UM ESCALAR

Dado um vetor v, se o multiplicarmos por um número real k qualquer, resultará um outro vetor que, nos exemplos, chamaremos de u e este terá familiaridades com o vetor v com as seguintes alterações:

Módulo – o módulo do vetor u será o módulo de v multiplicado por k.

Direção – é a mesma de v.

Sentido – se o número real k for positivo, o sentido de v se mantém, do contrário (sinal negativo), o sentido inverte.

DECOMPOSIÇÃO DE VETORES EM UM PAR DE EIXOS

Na resolução e no estudo de sistemas físicos, que possuem vetores, é muito comum a decomposição de vetores em um par de eixos. Esses vetores, resultantes da decomposição, serão chamados de projeções ou componentes. O processo utilizado para essa decomposição consiste na formação de um paralelogramo e utilização de relações trigonométricas. Veja a figura:

As componentes foram chamadas de ax (projeção no eixo x) e ay (projeção no eixo y), e θ é o ângulo que o vetor faz com a horizontal. Pela trigonometria, sabemos que:

Podemos representar qualquer vetor, no plano cartesiano, através de suas componentes, usando versores  x e y

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