Conjuntos numéricos e intervalos reais

Aprenda sobre Conjunto dos Números Naturais, Conjunto dos Números Inteiros, Conjunto dos Números Racionais, Conjunto dos Números Reais, Intervalos e Operações com Intervalos

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CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS

Para obtermos o conjunto dos números naturais, começamos por zero e acrescentamos sempre uma unidade para encontrar os outros elementos.

IN = { 0,1,2,3,4,5, … }

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Eu quero

O conjunto dos números naturais é infinito por isso utilizamos as reticências.

Quando utilizamos o asterisco(*), estamos excluindo o zero do conjunto, ou seja:

IN* = { 1,2,3,4,5,6,7, …}

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS

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Eu quero

Para obtermos o conjunto dos números inteiros basta utilizar os sinais – e + nos elementos do conjunto dos naturais, obtendo, respectivamente, um inteiro positivo e um inteiro negativo. A estes elementos acrescentamos o zero e temos o conjunto dos números inteiros.

Z= { …,-3,-2,-1,0,1,2,3,… }

Atenção!

• Números inteiros não nulos

Z*= {…, -3,-2, -1,1,2,3,…}

• Números inteiros não positivos

Z- = {…, -3,-2, -1,0}

• Números inteiros negativos

Z-*= {…, -3,-2, -1}

Graficamente podemos representar o conjunto dos inteiros da seguinte forma:

O conjunto dos números naturais é um subconjunto dos números inteiros.

CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS

Os números que podem ser expressos sob a forma  sendo m e n números inteiros e  são chamados de números racionais.O conjunto dos racionais pode ser representado por:

Q = { x/x = , com m  Z, n  Z e n  0 }

Podemos afirmar que o conjunto dos racionais é formado por números fracionários, decimais exatos, dízimas periódicas e inteiros:

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OBSERVAÇÃO

• Todo racional possui um oposto e um simétrico.

• Entre dois números racionais distintos sempre existe um outro número racional.

• O conjunto dos números naturais e dos inteiros são subconjuntos de Q.

CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (IR)

O conjunto dos números reais é a reunião dos racionais com os irracionais.

Representando graficamente:

Números irracionais são números que possuem uma representação infinita e não periódica:

Ex. : 

DÍZIMAS PERIÓDICAS: As dízimas periódicas são números racionais, pois podem ser colocados em forma de fração, denominada fração geratriz.

INTERVALOS

O subconjunto dos números reais, determinado por desigualdades é chamado de intervalo.

Assim, podemos ter intervalos como:

1) Intervalo aberto:

Os extremos a e b não pertencem ao intervalo.

Outras maneiras de representar esse intervalo são:

] a, b [

{x  IR /a < x < b}

2) Intervalo fechado:

Os extremos a e b pertencem ao intervalo.

Outras maneiras de representar esse intervalo são:

[ a, b ]

{ x  IR / a ≤ x ≤ b }

3) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita (ou simplesmente intervalo semiaberto à direita):

Apenas o extremo a pertence ao intervalo.

Outras maneiras de representar esse intervalo são:

[ a, b [

{ x  IR / a ≤ x < b }

4) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita (ou simplesmente intervalo semiaberto à esquerda)

Apenas o extremo b pertence ao intervalo.

Outras maneiras de representar esse intervalo são:

] a, b]

{ x  IR / a < x ≤ b}

OPERAÇÕES COM INTERVALOS

INTERSECÇÃO

Se A = {x  IR / 2 < x ≤ 6} e B = {x  IR / 4 ≤ x < 8}, determine a A  B.

Logo A  B = {x  IR / 4 ≤ x ≤ 6 }

UNIÃO

Se A= {x  IR / 2 < x ≤ 6 } e B= { x  IR / 4 ≤ x < 8 }, determine A  B.

A B = { x  IR / 2 < x < 8 }

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