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Determinantes

Determinantes

Aprenda sobre as Determinantes.

Determinante é um número r tal que se associa a uma matriz quadrada.

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ 2X2

Determinante da A²ˣ² = [ a¹¹   a¹²] matriz é o real obtido após efetuarmos a¹¹ . a²² – a¹² . a²¹
                                            [a²¹   a²²]

Exemplo:

A = [5  3] det A = 5·2 – 3·1 = 10 – 3, det A = 7
       [1   2]

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ 3X3

Determinante da:

            [a¹¹  a¹²   a¹³]
A³ˣ³ = [a²¹   a²²   a²³]
           [a³¹  a³²   a³³]

matriz é o número real obtido após efetuarmos.

a¹¹ . a²² . a³³ + a¹² . a²³ . a³¹ + a¹³ . a²¹ . a³²
– (a¹³ . a²² . a³¹ + a¹² . a²¹ . a³² + a¹¹ . a²³ . ³²)

REGRA DE SARRUS

Exemplo:

Calcule o determinante da matriz:

        [3    1    2]
A = [0   -1   4]
        [1    2    5]

Basta repetir as duas primeiras colunas ao lado da matriz.

[3    1    2]3     1
[0   -1   4]0   – 1      
[1    2    5]1     2

Nas diagonais com três elementos da esquerda para a direita, você efetua o produto e mantém o sinal; enquanto nas diagonais com três elementos da direita para esquerda você efetua o produto e inverte o sinal.

det A = -15 + 4 + 0 – (-2) – (24) – (0)
det A = -15 + 4 + 2 – 24
det A = -33

REGRA DO COFATOR

Seja A = (aⁱʲ) uma matriz quadrada de ordem ≥ 2.

Cofator (ou complemento algébrico) de aⁱʲ (notação: Aⁱʲ) é o produto de (-1)ⁱ⁺ʲ pelo determinante da matriz que se obtém de A suprimindo a linha i e a coluna j.

Exemplo:

Podemos obter det A somando os produtos dos elementos de uma fila qualquer pelos respectivos cofatores.

det A = a¹¹A¹¹ + a²¹A²¹ + a³¹A³¹

Exemplo:

Calcule o determinante da matriz:

        [2    7    0]
A = [3    1      5]
       [4  -3   -2]

Escolhendo a 1ª linha, temos:

detA = 2.(-1)¹⁺¹ |1     5|  +7.(-1)¹⁺² [3   5] + 0 . (-1) ¹⁺³ [3   1]
                          |-3- 2|                  [4  – 2]                    [4 -3]

det A = 2 . 1 . (-2 +15) + 7 (-1)(-6- 20) + 0 =  26 + 182 =  208

PROPRIEDADES DO DETERMINANTE

• A troca de uma linha ou coluna por outra da matriz, troca o sinal do resultado.

Exemplo:

|9       9      1|                          |9      9     1|
|-7    -1      5| = 262              |-1   -8  -2| = -262
|-1    -8   – 2|                         |-7    -1    5|

• Multiplicando uma linha ou uma coluna por k, o determinante também fica multiplicado por k.

Exemplo:

|6   -4    -4|                           |6   -4   -4|
|-2   -3   -6| = 20                 |-2  -3  -6| = 100
| 1     -1    -2|                          | 5    -5  -10|

• Multiplicar uma matriz quadrada inteira por k, multiplica o resultado do determinante por kⁿ , sendo n a ordem da matriz.

det(k . A) = kⁿ. detA

 Exemplo:

      | 1    -1   -2|
A = |-2   -3   -6| = -20
        | 6   -4   -4|

          | 5     -5  -10|
5A = |-10  -15 -30| = -2500
          |30  -20 -20 |

• O determinante da transposta é igual ao determinante da matriz.

Det(Aᵗ) = Det(A)

 Exemplo:

        | 1    -1    -2|
A = |-2   -3   -6| = -20
       | 6   -4   – 4|

         | 1     -2     6|
Aᵗ = |-1    -3   -4| = -20
        |-2   -6    -4|

• Se uma linha ou coluna for toda igual a zero, o determinante é zero:

Exemplo:

        (a   b  c)
Det (d    e   f) = 0
        (0   0   0)

• Quando uma linha ou coluna é igual ou proporcional a outra, o determinante é zero:

        (a   b   c)
Det (d   e     f) = aec + bfa + dbc – aec – bfa – dbc = 0
        (a   b   c)

        (a   b     c)                   (a   b   c)
Det (d    e     f)    = K.Det   (d   e    f) = 0
      (ka  kb  kc)                   (a    b   c)

• O determinante de uma matriz resultado de um produto entre 2 matrizes quadradas é o produto dos determinantes das matrizes (Teorema de Binet).

Det(A·B) = Det(A) · Det(B)

• O determinante da inversa é o inverso do determinante.
Det (A-¹) = 1/Det(A)

Exemplo:

Matriz A:

( 5    -2    7)
( -1     1     3)
(2     -1     5)

Det(A) = 11

|5     -2    7|
|-1      1     3|= 11
|2     -1      5|

A matriz inversa de A é:

            (8/11    3/11    -13/11)
A-¹ = (  1             1          -2)
          (-1/11      1/11       3/11)

E o seu determinante é:

|8/13      3/11     -13/11|
| 1            1              -2| =     1/11
|-1/11      1/11        3/11|

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

01. (UNISC) Dadas as matrizes A = [ 1    2] e B = [-1   2]  o Determinante da matriz A . B é:
                                                                 [3    4]           [1     0] 

a) 4

b) 6

c) 8

d) 12

e) 27

Resolução: A

Pelo Teorema de Binet, det(AB) = detA . detB, = ⋅ ou seja

det(AB) = |1   2|  .  |-1   2|
                   |3   4      | 1   0|

det(AB) = (1 . 4 – 2 . 3) . ( – 1 . 0 – 2 . 1)
det(AB) = -2 . (-2)
det(AB) = 4

02. (FEEVALE) O determinante da matriz

[ sen(x)     0      1 ]
[ 1              sec(x)   0]
[ 0             0      cotg(x)]

a) 0

b) 1

c) sen(x)

d) cos(x)

e) tg(x)

Resolução: B

[ sen(x)     0      1 ]
[ 1            sec(x)   0]  =  sen(x) . sec(x) . cotg(x) . sen(x) . 1/cos(x) . cos(x)/sen(x) = 1
[ 0             0    cotg(x)]

03. (UERN) Considere a seguinte matriz A = (aⁱʲ)³ˣ³

(2        1          log²8)
(1       -2             4)
(3      log²4         1)

Pela regra de Sarrus, o determinante dessa matriz é

a) 8.

b) 9.

c) 15.

d) 24.

Resolução: C
Reescrevendo a matriz A, tem-se:

(2        1          log²8)        (2     1      3)
(1       -2             4) =        (1   -2     4)
(3      log²4         1)            (3    2      1)

O determinante da mesma será:
det A = -4 + 12 +6 +18 – 16 -1
det A = 15

04. (EEAR) Para que o determinante da matriz  (1   -1   1) seja 3, o valor de b deve ser igual a
                                                                                         (1   0  b)
                                                                                         (1   2   1) 

a) 2

b) 0

c) –1

d) –2

Resolução: B

(1   -1    1)1  -1
(1    0    b)1   0
(1    2     1)1   2

Calculando o determinante pela regra de Sarrus, temos:

0 – b + 2 – 0 – 2b + 1 = 3 ⇒ 3b + 3 = 3 ⇒ – 2b = 0 ⇒ b = 0

05. (ESPM) Se a matriz [3      x]
                                            [4    x+1]

for multiplicada pelo valor do seu determinante, este ficará multiplicado por 49. Um dos possíveis valores de x é:

a) 5

b) –3

c) 1

d) –4

e) 2

Resolução: D

Seja k o determinante da matriz [3      x]
                                                             [4    x+1]

Sabendo que det(λ . A) = λⁿ . det A , com λ sendo um número real e n a ordem da matriz quadrada A, vem

49. k = k². k ⇔ k.(k² – 49) =
⇔ k = 0 ou k = -7 ou k =

Desse modo, se k = 0, então

 [3      x]  = 0 ⇔ 3x + 4 – 4x = 0 ⇔ x = 3 
 [4    x+1]

Se k = –7 então

-x + 3 = -7 ⇔ x = 10

Se k = 7, então

-x + 3 = 7 ⇔ x = -4 

Por conseguinte, um dos possíveis valores de x é –4.

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