Determinantes

É um número associado a uma matriz quadrada obtido através de operações que envolvem todos os elementos da matriz considerada.
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Os elementos de uma matriz são organizados e representados entre colchetes [  ] ou parênteses (   ) e o determinante é representado por det A ou duas barras ç   ç.

Determinante de matriz quadra de ordem:

Exemplo 1

Neste caso o determinante é igual ao único número da matriz.

det A = çaij ç= aij.

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Eu quero

Exemplo:

a) A = [ 3 ] det A = 3

b) B = [ -7 ] det B = -7

Exemplo 2

Se A é uma matriz quadrada de ordem 2, calculamos seu determinante pela diferença entre os produtos dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.

Dada a matriz , indicamos seu determinante através da seguinte expressão:

Exercícios resolvidos.

1) Calcule o valor dos determinantes:

a)

b)

2) Resolva as equações:

a)              b)

Solução:

a)

2x – 10 = 0 2x = 10 x = 5 S = {5}

b) 

x2 – 5x = 0 x.(x – 5) = 0 x = 0 ou x = 5

S = {-5, 5}

Exemplo 3

Se A é uma matriz quadrada de ordem 3, calculamos seu determinante utilizando uma regra prática chamada regra de Sarrus.

Consideremos a matriz genérica de ordem 3:

Vamos repetir a 1a e a 2a coluna à direita da matriz, como no esquema abaixo:

Então se A é uma matriz quadrada de ordem 3, calculamos seu determinante pela diferença entre a soma os produtos  obtidos dos termos na direção da diagonal principal e a soma os produtos  obtidos dos termos na direção da diagonal secundária.

det A = (a11.a22.a33+ a12.a23.a31+ a13.a21.a32) – (a13.a22.a31+ a11.a23.a32+ a12.a21.a33)

Exercícios resolvidos.

3) Calcule cada um dos determinantes a seguir, utilizando a regra de Sarrus.

a) 

(3.1.4 + 2.3.2 + 5.4.3) – (5.1.2 + 3.3.3 + 2.4.4) =

(12 + 12 + 60) – (10 + 27 + 32) = 84 – 69 = 15

b) 

[0.3.5 + 3.1.4 + 0.(-2).(-2)] – [0.3.4 + 0.1.(-2) + 3.(-2).5) =

(0 + 12 + 0) – (0 + 0 – 30) = 12 – (-30) = 12 + 30 = 42

4) Observe a matriz . Chama-se traço de uma matriz quadrada a soma dos elementos de sua diagonal principal. Determine x e y na matriz dada, de modo que o seu traço valha 9 e o seu determinante 15.

Solução:

Tr[A] = 1 + x + y = 9 Þ x + y = 9 – 1 x + y = 8 (I)

det A = (1.x.y + 2.4.0 + 3.0.0) – (3.x.0 + 0.4.0 + 2.0.y) =

(xy +0 + 0) – (0 + 0 + 0) = xy – 0 = xy = 15 (II)

Substituindo (I) em (II), temos:

xy = 15 x.(8 – x) = 15 Þ 8x – x2 = 15 Þ x2 – 8x+ 15=0

x1 = 3 e x2 = 5.

Concluímos que  x = 3 e y = 5 ou x = 5 e y = 3.

5) Resolva a equação  no intervalo 0 £ x £ 2p.

Solução:




PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES

O cálculo de determinantes pode ser simplificado com o uso das propriedades. Importante destacar que as matrizes consideradas são quadradas e quando nos referimos a uma fila da matriz, podemos considerar uma linha ou uma coluna.

Sendo A uma matriz quadrada de ordem n, temos:

FILA NULA

Se A possui uma fila na qual todos os elementos são iguais a zero, então det A = 0.

1o exemplo:

det A = (a.e.0+b.f.0+c.d.0)-(c.e.0+a.f.0+b.d.0) = det A = 0 – 0 = 0

2o exemplo:

det A = [2.1.0 + 3.5.0 + (-7).(-4).0] – [(-7).1.0+2.5.0+3.(-4).0] = det A = 0 – 0 = 0

FILAS IGUAIS

Se A possui filas paralelas iguais, então det A = 0.

1o exemplo:

det A = (a.e.c+b.f.a+c.d.b)-(c.e.a+a.f.b+b.d.c) = det A = a.e.c+b.f.a+c.d.b-c.e.a-a.f.b-b.d.c = 0

2o exemplo:

det A = [3.6.(-4) + 1.5.3 + (-4).(-2).1] – [(-4).6.3 + 3.5.1 + 1.(-2).(-4)] = [- 72 + 15 + 8] – [ – 72 +15 +8] = -49 + 49 = 0

FILAS PROPORCIONAIS

Se A possui filas paralelas proporcionais, então det A = 0.

1o exemplo:

det A = (a.e.ck + b.f.ak + c.d.bk) – (c.e.ak + a.f.bk + b.d.ck) = a.e.c + b.f.a + c.d.b – c.e.ak -a.f.bk – b.d.ck = 0

2o exemplo:

det A = [2.4.9 + 1.7.6 + 3.(-1).3] – [3.4.6 + 2.7.3 + 1.(-1).9] = [72 + 42 – 9] – [ 72 +42 – 9] = 105 – 105 = 0

TROCAS DE FILAS PARALELAS

Se trocarmos a posição de duas filas paralelas de A, obtendo a matriz A’, então:     det A’ = – det A.

1o exemplo:


2o exemplo:

detA = (-2).8 – (-3).5 = -16-(-15) = -16+15 = -1

detA’ = (-3).5 – (-2).8 = -15-(-16) = -15+16 = 1

MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UMA FILA.

Se multiplicarmos um número real k, k ¹ 0, por uma fila da matriz A, obtemos uma nova matriz A’, então: det A’ = k.det A.

1o exemplo:


det A’ = k(a.d – b.c) = k.det A

2o exemplo:


detA’ = 6.7 – 9.4 = 42 – 36 = 6

det A’ = k.det A  detA’ = 3.2 = 6

MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UMA MATRIZ.

Se multiplicarmos um número real k, k ¹ 0, por uma matriz quadrada A, de ordem n, obtemos uma nova matriz A’, então:

det A’ = kn .det A.

1o exemplo:



2o exemplo:




DETERMINANTE DA MATRIZ TRANSPOSTA

O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua transposta, então det A = det At.

1o exemplo:

A^t=\\begin{bmatrix}

A^t=\\begin{bmatrix}

2o exemplo:

 detA = (-4).(-5) – 3.2 = 20 – 6 = 14

 detAt = (-4).(-5) – 2.3 = 20 – 6 = 14

DETERMINANTE DA MATRIZ TRIANGULAR

O determinante de uma matriz triangular A é igual ao produto dos elementos da diagonal principal, então

detA=a_{11}\\cdot

1o exemplo:

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