GEOMETRIA ESPACIAL – ESFERAS

Aprenda sobre Esferas em Geometria Espacial.

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ESFERAS.

A esfera é o sólido obtido pela rotação de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro.

A superfície gerada pelo arco AB (semicircunferência) é chamada superfície esférica.

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O ponto O, centro da semicircunferência, é também chamado centro da esfera.

Observe que:

I. a distância de qualquer ponto da superfície esférica ao centro é igual ao raio (R).

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II. a distância de qualquer ponto do interior da esfera é menor que o raio logo, se P pertence à esfera, temos:


POLOS – EQUADOR – PARALELO – MERIDIANO:

Considere uma esfera de eixo e

Polos: interseção da superfície com o eixo e.

Equador: é a maior circunferência da seção perpendicular ao eixo e que passa pelo centro da esfera.

Paralelo: é a maior circunferência de uma seção perpendicular ao eixo.

Meridiano: é a maior circunferência de uma seção que passa pelo eixo.

SEÇÕES.

A interseção de um plano com uma esfera é sempre um círculo. O círculo máximo acontece quando o plano corta a esfera passando pelo centro.

DISTÂNCIA POLAR (P1 E P2). 

É a distância de qualquer ponto da superfície esférica a qualquer um dos polos.

Note que utilizaremos o teorema de Pitágoras para relacionar essas distâncias, visto que as distâncias aos polos formam com o diâmetro da esfera um triângulo equilátero.

Dependendo das informações dadas devemos utilizar outras relações métricas estudadas anteriormente com o triângulo retângulo.

ÁREA E VOLUME.

A área e o volume de uma esfera de raio R são, respectivamente:

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FUSO E CUNHA

Para calcularmos o volume da cunha e a superfície do fuso usaremos a proporcionalidade, visto que são frações respectivamente do volume e da superfície esférica.


em que α é o ângulo referente ao ângulo central que pode ser observado nas figuras acima.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1) Sendo S uma esfera de raio r, o valor pelo qual deveríamos multiplicar r, a fim de obtermos uma nova esfera S’, cujo volume seja o dobro do volume de S, é:

a)

b)

c) .

d) .

e) .

Solução: A


2) (Fuvest) Um recipiente cilíndrico cujo raio da base é 6cm contém água até uma certa altura. Uma esfera de aço é colocada no interior do recipiente ficando totalmente submersa. Se a altura da água subiu 1cm então o raio da esfera é:

a) 1 cm

b) 2 cm

c) 3 cm

d) 4 cm

e) 5 cm

Solução: C




3) A área da superfície de uma esfera e a área total de um cone circular reto são iguais. Se o raio da base do cone mede 4 cm e o volume do cone é 16p cm3, o raio da esfera é dado por:

A)

B)

C)

D)

E)

Solução: C




4) A tira seguinte mostra o Cebolinha tentando levantar um haltere, que é um aparelho feito de ferro, composto de duas esferas acopladas a um bastão cilíndrico.

Suponha que cada esfera tenha 10,5 cm de diâmetro e que o bastão tenha 50 cm de comprimento e diâmetro da base medindo 1,4 cm. Se a densidade do ferro é 7,8g/cm3, quantos quilogramas, aproximadamente, o Cebolinha tentava levantar?

(Use: p = 22/7)

a) 18

b) 16

c) 15

d) 12

e) 10

Solução: E







5) Um reservatório de água tem a forma de um hemisfério acoplado a um cilindro circular como mostra a figura a seguir.

A medida do raio do hemisfério é a mesma do raio da base do cilindro e igual a r = 3 m. Se a altura do reservatório é h = 6 m, a capacidade máxima de água comportada por esse reservatório é:

a) .

b) .

c) .

d) .

e).

Solução: E


Altura do reservatório é 6 m , logo a altura do cilindro é 3 m.


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