GEOMETRIA ESPACIAL – SEMELHANÇA DE SÓLIDOS – TRONCOS

Aprenda sobre a Razão entre Áreas e Volumes de Figuras Semelhantes, Seção Transversal de uma Pirâmide ou Cone e Troncos.

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RAZÃO ENTRE ÁREAS E VOLUMES DE FIGURAS SEMELHANTES

Dadas duas figuras semelhantes, é possível estabelecer a razão entre suas áreas e seus volumes através da razão de semelhança.

Considere as figuras semelhantes abaixo, uma de altura h e a outra de altura H.

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Observando que áreas e volumes são diretamente proporcionais à cada uma de suas dimensões, a razão entre áreas de figuras semelhantes é o quadrado da razão de semelhança e a razão entre volumes de figuras semelhantes é o cubo da razão de semelhança. Podemos afirmar que a razão entre as áreas das figuras 1 e 2 é:

e a razão entre os volumes das figuras é:

Exemplo:

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Considere 2 cubos, um de aresta 2 e outro de aresta 3.

A razão entre as áreas totais é:

A razão entre os volumes é:

Exercício Resolvido

Duas estátuas são semelhantes, e a maior tem o dobro da altura da menor. Se a menor tem volume de 3 m³, determine o volume da estátua maior:

a) 6 m³

b) 9 m³

c) 12 m³

d) 24 m³

e) 36 m³

Solução:

Como conhecemos a razão entre as alturas (razão linear), podemos obter facilmente a razão entre os volumes, veja:



SEÇÃO TRANSVERSAL DE UMA PIRÂMIDE OU CONE

Uma seção transversal de uma pirâmide ou de um cone é uma seção feita por um plano paralelo à base. Note que as regiões obtidas na seção, são semelhantes à região da sua respectiva base.

Observe na figura, que a pirâmide e o cone de altura H foram seccionados por um plano paralelo à sua base, formando outro sólido semelhante de altura h. Considere a área da seção As, a área da base Ab e os volumes v e V para sólidos semelhantes de alturas h e H respectivamente. Temos então:

AS

=

 

h

 

2

AB

H

v

=

 

h

 

3

V

H

TRONCOS

Cabe ressaltar que ao seccionarmos uma pirâmide ou um cone por um plano paralelo à base, obtemos dois sólidos: um semelhante ao original, como abordamos anteriormente, e um outro chamado tronco de pirâmide ou tronco de cone.

Considere, nesses troncos, que as medidas das áreas de suas duas bases paralelas e semelhantes são dadas por AB e Ab e a medida de sua altura (distância entre as bases) dada por h. O volume do tronco é calculado por:

Podemos ainda obter, mais especificamente, que o volume de um tronco de cone, cujos raios das bases maior e menor são R e r respectivamente, pode ser dado por.

Vtronco =

. h

. (R2 + r2 + R . r)

3

Exercício Resolvido

1) Para obter um objeto de decoração, um artista plástico utiliza uma pirâmide de base hexagonal e altura 10 m. A que distância do vértice o artista deve cortá-la por um plano paralelo a base de forma que o volume da pirâmide obtida seja 1/8 do volume da pirâmide original:

a) 2 m

b) 4 m

c) 5 m

d) 6 m

e) 8 m

Solução:

Usando as razões de semelhança podemos escrever:


Extraindo a raiz cúbica de ambos os membros, temos:


Portanto, o gabarito procurado é a alternativa c.

2) A parte superior de uma taça tem o formato de um cone, com as dimensões indicadas na figura.

a) Qual o volume de líquido que essa taça comporta quando está completamente cheia?

b) Obtenha uma expressão para o volume V de líquido nessa taça, em função da altura x indicada na figura.

Solução:

a) aplicando a fórmula do volume, temos:

b) Usando as razões de semelhança, temos:




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