Matrizes – Produto de Matrizes e inversas

Aprenda sobre Multiplicação de Matrizes.

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MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES

Antes de definirmos a multiplicação de matrizes, vejamos como é definido o produto de uma linha por uma coluna. Considere as matrizes A2×3 e B3×2 onde tomamos a linha i de A e a coluna j de B, ou seja:

Definimos como o produto da linha i pela coluna j o valor aj1 . b1j + ai2 . b2j + ai3 . b3j, ou seja, adicionarmos os resultados obtidos pela multiplicação ordenada dos elementos da linha i pelos elementos da coluna j.

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Podemos observar que se não houver a mesma quantidade de elementos não se pode efetuar tal produto. Dessa maneira, definimos então o produto de matrizes.

Considere duas matrizes Am×n e Bn×k. O produto de A por B é a matriz C, onde cada elemento Cij é o produto da linha i da matriz A pela coluna j da matriz B.

Observe o método para calcularmos o produto do produto de:


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Onde:

O produto da linha 1 de A pela coluna 1 de B é ;

O produto da linha 1 de A pela coluna 2 de B é ;

O produto da linha 2 de A pela coluna 1 de B é ;

O produto da linha 2 de A pela coluna 2 de B é .

Portanto

Vejamos mais alguns exemplos:

A) calcule o produto de  pela identidade de ordem 2.

Solução:

Fazendo o cálculo pelo método apresentado, temos.

Assim,

B) Considere . Calcule a matriz .

Solução:

Fazendo o cálculo pelo método apresentado, temos:

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Assim,

Observação

1) Observemos que para existir o produto de A por B, a quantidade de elementos da linha de A e a quantidade de elementos da coluna de B devem ser iguais. Em outras palavras, dizemos que o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B para existir o produto A . B. Dessa maneira a matriz produto AB tem o mesmo número de linhas de A, e o mesmo número de colunas de B.

2) O produto de uma matriz A pela identidade, é igual a própria matriz A. Podemos inclusive associar a ideia de que a matriz identidade representa, no produto de matrizes, a mesma função que o número 1 na multiplicação de números reais, ou seja, é o elemento neutro da multiplicação.

3) O produto de matrizes não é necessariamente comutativo, isto é, não é necessariamente igual a . Voltemos ao exemplo:


Calculando , temos  e calculando agora obtemos:

Exercícios resolvidos

1) Uma fábrica decide distribuir os excedentes de três produtos alimentícios  e  a dois países da América Central,  e  As quantidades, em toneladas, são descritas mediante a matriz :

Para o transporte aos países de destino, a fábrica recebeu orçamentos de duas empresas, em reais por tonelada, como indica a matriz :

A) Efetue o produto das duas matrizes, na ordem que for possível. Que representa o elemento a13 da matriz produto?

B) Que elemento da matriz produto indica o custo de transportar o produto A, com a segunda empresa, aos dois países?

C) Para transportar os três produtos aos dois países, qual empresa deveria ser escolhida, considerando que as duas apresentam exatamente as mesmas condições técnicas? Por quê?

Solução:

A) 

o elemento  representa o preço, em reais, que a empresa 1 cobra para transportar o produto  aos dois países.

B) O elemento que representa o custo para transportar o produto  pela segunda empresa, é o

C) Pela empresa 1,

130.000+95.000+135.000=360.000

Pela empresa 2,

100.000+70.000+100.000=270.000

Portanto, a empresa 2 seria a mais vantajosa.

2) Uma fábrica decide distribuir os excedentes de três produtos alimentícios A, B e C a dois países da América Central, P1 e P2 As quantidades, em toneladas, são descritas mediante a matriz Q

Para o transporte aos países de destino, a fábrica recebeu orçamentos de duas empresas, em reais por toneladas, como indica a matriz :

A) Efetue o produto das duas matrizes, na ordem que for possível. Que elemento da matriz produto indica o custo de transportar o produto A,  com a segunda empresa, aos dois países?

B) Para transportar os três produtos aos dois países, qual empresa deveria ser escolhida, considerando que as duas apresentam exatamente as mesmas condições técnicas? Por quê?

Solução:

A) Calculando:

  

B) A empresa 2. Calculando:

3) Uma matriz é uma tabela retangular formada por números reais , dispostos em m linhas e n colunas. O produto de duas matrizes  e  é uma matriz em que o elemento  é obtido da multiplicação ordenada dos elementos da linha   da matriz  pelos elementos da coluna , da matriz , e somando os elementos resultantes das multiplicações. A soma de matrizes é comutativa, ou seja, .

Faça a multiplicação das matrizes   e  e verifique se esse produto é comutativo, ou seja:

Solução:

Para que o produto seja comutativo, deve-se ter  para todo  e todo  com  e  Assim, como  e  segue-se que o produto de  e  não é comutativo.

Em particular, temos


e


4) Para cada inteiro positivo n, defina a matriz . A soma dos elementos da matriz produto   é

A) 229.

B) 231.

C) 233.

D) 235.

Solução: C

Escrevendo as matrizes e fazendo as multiplicações:



É possível perceber que a cada multiplicação, o resultado será sempre o mesmo para os elementos  e . Quanto ao elemento  este será a soma dos elementos correspondentes nas matrizes multiplicadas. Assim, o elemento  da matriz  é igual a soma , ou seja, uma PA de  elementos e razão . A soma de todos os elementos desta PA será . Logo, a matriz  será:

 e a soma de seus elementos é

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