MATRIZES – TEORIA, NOMENCLATURA E OPERAÇÕES BÁSICAS

Denomina-se matriz m x n, a tabela de números dispostos em m linhas, filas horizontais, e n colunas, filas verticais. Os números m e n formam a ordem da matriz.
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Exemplo:

Uma matriz A pode ser representada por:

com m, n IN*

Chamamos de aij o elemento da matriz A que se encontra na linha i e na coluna j.

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Logo, o elemento da matriz A que está na 1a linha e 1a coluna é o elemento a11.

O elemento da matriz A que está na 2a linha e 3a coluna é o elemento a23 e assim sucessivamente.

Exemplo:

LEI DE FORMAÇÃO DE UMA MATRIZ

É uma maneira de representarmos uma matriz utilizando apenas uma ou mais relações entre os elementos i e j.

Exemplo:

Determine a matriz A2×2 onde:


MATRIZ NULA

É a matriz onde todos os seus elementos são iguais a zero.

MATRIZ QUADRADA

É a matriz que tem m = n, isto é, o número de colunas é igual ao número de linhas.

Exemplo:

Para efeito de nomenclatura, costuma-se dizer matriz de ordem m.

Chama-se traço da matriz quadrada a soma dos elementos da diagonal principal.

MATRIZ IDENTIDADE (MATRIZ UNIDADE)

É a matriz quadrada de ordem n, onde todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1, e todos os outros elementos são iguais a zero.

Exemplo:

A lei de formação de uma matriz Identidade é:

MATRIZ OPOSTA

É a matriz B cujos elementos são simétricos dos elementos correspondentes de A.

(B = -A)

Exemplo:

MATRIZ TRANSPOSTA (AT)

Matriz transposta da matriz Am x n é a matriz que obtemos trocando ordenadamente de posição as linhas, pelas colunas.

Ou seja, se Am x n então Atn x m.

Exemplo:

MATRIZ SIMÉTRICA

É a matriz onde aij = aji . ” i,j., ou seja , A = At.

Exemplo:

IGUALDADE DE MATRIZES

Duas matrizes A e B, de mesma ordem, são ditas iguais, quando tiverem todos os elementos correspondentes iguais.

OBERVAÇÃO

Elementos correspondentes são elementos de mesma posição, porém em matrizes distintas.

Exemplo 1:

Se , então:


Exemplo 2:

Determine os valores de x e y na expressão abaixo:


_________



COMO TELEFONEMAS E MATRIZES PODE CAIR NO ENEM?

Em muitas provas é comum encontrarmos algumas questões envolvendo tabelas compostas por linhas e colunas. O cálculo do número de telefonemas que três pessoas dão entre si pode ser facilmente explicitado na forma matricial. Desta maneira fica mais fácil realizar uma leitura geral e interpretar corretamente a situação.

Exemplo

As meninas 1 = Adriana, 2 = Bruna e 3 = Carla falam muito ao telefone entre si. Na matriz M, abaixo, cada elemento aij é igual ao número de telefonemas que i deu para j no mês de setembro. No mês de setembro, quem mais telefonou e quem mais recebeu ligações são, respectivamente:

A) Bruna e Carla.

B) Adriana e Carla.

C) Carla e Bruna.

D) Adriana e Bruna.

E) Bruna e Adriana.

Solução:

Adriana ligou 0 + 13 + 10 = 23

Bruna ligou 18 + 0 + 6 = 24

Carla ligou 9 + 12 + 0 = 21

Adriana recebeu 0 + 18 + 9 = 27

Bruna recebeu 13 + 0 + 12 = 25

Carla recebeu 10+ 6 + 0 = 16

Gabarito: E

OPERAÇÕES COM MATRIZES

ADIÇÃO

Dadas duas matrizes A e B, de mesma ordem, chama-se de matriz soma de A com B a matriz C, onde seus elementos são iguais a soma dos elementos correspondentes de A e B.

Exemplo:


SUBTRAÇÃO

A diferença entre duas matrizes A e B (A – B) é a matriz obtida, somando a matriz A com a oposta de B.

Exemplo:


OBSERVAÇÃO

Só podemos somar e subtrair matrizes de mesma ordem e o resultado será da mesma ordem das matrizes dadas.

MULTIPLICAÇÃO

Matriz por número real

Dados a matriz Am x n e o número real k, obtemos a matriz kA, multiplicando todos os elementos de A, pelo número real k.

Exemplo 1:

Exemplo 2:

CADASTRE-SE

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