PROBABILIDADE

O conceito de probabilidade é fundamental para o estudo de situações em que os resultados são variáveis, mesmo quando mantidas inalteradas as condições de sua realização.
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Por exemplo:

1. As declarações de despesas por funcionário de uma empresa podem assumir uma variedade de valores;

2. A audiência estimada de um comercial de TV com 30 segundos de duração não é a mesma para cada exibição.

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Probabilidade pode ser definida como teoria matemática utilizada para se estudar a incerteza oriunda de fenômeno de caráter aleatório.

FENÔMENO ALEATÓRIO

Fenômeno – qualquer acontecimento natural.

Os fenômenos podem ser classificados, quanto aos seus possíveis resultados, de dois tipos:

1. Determinísticos: são aqueles que repetidos sob mesmas condições iniciais conduzem sempre a um só resultado.

2. Aleatórios: são aqueles que repetidos sob mesmas condições iniciais podem conduzir a mais de um resultado.

EXPERIMENTO ALEATÓRIO

Experimento – processo que gera resultados bem definidos.

São fenômenos aleatórios que possuem as seguintes características:

1. Repetitividade – pode ser repetido quantas vezes quisermos;

2. Regularidade – diz respeito à possibilidade da ocorrência dos resultados do fenômeno.

Exemplo de experimentos aleatório e seus respectivos resultados experimentais:

Experimento

Jogar uma moeda

Selecionar uma peça para inspeção

Fazer um contato de vendas

Lançar um dado

Jogar uma partida de futebol

Resultados Experimentais

Cara, coroa

Defeituoso, não defeituoso

Comprar, não comprar

1, 2, 3, 4, 5, 6

Ganhar, perder, empatar

ESPAÇO AMOSTRAL

O espaço amostral de um experimento, denotado por , é o conjunto de todos os resultados experimentais.

Exemplos:

1. Jogar uma moeda.

 = {Cara, Coroa}

2. Selecionar uma peça para inspeção

 = {Defeituosa, Não defeituosa}

3. Lançar um dado

A probabilidade atribuída a cada um dos resultados experimentais deve situar entre 0 e 1, inclusive. Se admitimos que Ei denota o í-ésimo resultado experimental e que P(Ei) é a sua probabilidade, então esse requisito pode ser escrito na seguinte forma:

 para todo i

A soma das probabilidades de todos os resultados experimentais deve ser igual a 1,0. Para n resultados experimentais, esse requisito pode ser escrito na seguinte forma:

 

MÉTODOS DE PROBABILIDADE

Através das frequências de ocorrências (método de frequência relativa).

Observamos o experimento aleatório n vezes e determinamos a frequência relativa com que cada resultado ocorre.

OBSERVAÇÃO:

Este método é apropriado quando se tem dados disponíveis para estimar a proporção do tempo em que o resultado experimental ocorrerá se o experimento for repetidos inúmeras vezes.

Através de suposições teóricas (método clássico).

OBSERVAÇÃO:

Apropriado quando todos os resultados experimentais são igualmente prováveis.

EVENTO

Subconjunto do espaço amostral do experimento.

Notação: A, B, C, …

 (conjunto vazio): evento impossível.

: evento certo

Exemplo:

1. Lançamento de um dado.

Espaço amostral: 

Alguns eventos:

A: sair face par                               

B: Sair face maior que 3                

C: Sair face 1                                  

OPERAÇÕES COM EVENTOS

INTERSEÇÃO

O evento interseção de dois eventos A e B equivale à ocorrência de ambos.

Notação: 

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS

Dois eventos A e B dizem-se mutuamente exclusivos, ou mutuamente excludentes, quando a ocorrência de um deles impossibilita a ocorrência do outro.

Exprime-se este fato escrevendo-se .

UNIÃO

O evento união de A e B equivale à ocorrência de A, ou de B, ou ambas.

Notação: 

COMPLEMENTAR

A negação do evento A, denotado por , é chamado de evento complementar de A.

 e  são complementares se sua intersecção é vazia e sua união é o espaço amostral, isto é,


PROBABILIDADE DE UM EVENTO

É uma função que atribui um número aos eventos que pertence ao espaço amostral (se A é um evento de W, P(A) é a probabilidade de A), que satisfaz as seguintes condições:

;

;

Se e são eventos mutuamente excludentes, então .

TEOREMAS FUNDAMENTAIS

;

Se ;

Regra da soma: Se  e  são eventos quaisquer de , então:

.

PROBABILIDADE CONDICIONAL

A probabilidade do evento , quando se sabe que o evento  ocorreu, é chamado probabilidade condicional de dado ; denota-se por e é calculada por:

 desde que .

Da definição de probabilidade condicional podemos obter a regra de produtos de probabilidades

Analogamente, se P(A) > 0,

Exemplo:

1) Uma caixa contém 4 pistolas e 4 fuzis, sendo uma pistola e 2 fuzis defeituosos. Duas armas são retiradas da caixa sem reposição. A probabilidade de pelo menos uma arma ser defeituosa ou ser pistola é igual a

 a) 

b) 

c) 

d) 

e) 

Gabarito: A

Solução:

A probabilidade de se retirar dois fuzis sem defeito:

Logo, a probabilidade de se retirar de pelo menos uma arma ser defeituosa ou ser pistola é igual a:

2)  Responda as perguntas:

a) Dez meninas e seis meninos participarão de um torneio de tênis infantil. De quantas maneiras distintas essas 16 crianças podem ser separadas nos grupos A, B, C e D, cada um deles com 4 jogadores, sabendo que os grupos A e C serão formados apenas por meninas e o grupo B, apenas por meninos?

b) Acontecida a fase inicial do torneio, a fase semifinal terá os jogos entre Maria e João e entre Marta e José. Os vencedores de cada um dos jogos farão a final. Dado que a probabilidade de um menino ganhar de uma menina é 3/5, calcule a probabilidade de uma menina vencer o torneio.

Solução

a) Observe: 

Total: 

b) Final Marta e Maria e uma mulher vencer:  

Final Maria e José e uma Maria vencer:  

Final marta e João e uma Marta vencer:  

Probabilidade pedida   

3) O Centro Paula Souza administra Escolas Técnicas (Etecs) e Faculdades de Tecnologia (Fatecs) estaduais em 149 municípios, no Estado de São Paulo. Para participar de um simpósio sobre educação a distância, a Fatec São Paulo enviou cinco alunos, sendo dois homens; a Fatec Sorocaba enviou três alunos, sendo uma mulher; e a Fatec da Baixada Santista enviou quatro alunos, sendo dois homens. Para a abertura desse simpósio, será selecionada, ao acaso, uma dessas Fatecs e dela se escolherá, também ao acaso, um aluno para representar o Centro Paula Souza. A probabilidade de que o aluno escolhido seja uma mulher é

a) 

b) 

c) 

d) 

e)  

Gabarito: D

Solução:

Mulher de São Paulo:  

Mulher de Sorocaba:  

Mulher da Baixada Santista:  

Somando:  

4)

 O poliedro acima, com exatamente trinta faces quadrangulares numeradas de 1 a 30, é usado como um dado, em um jogo.

Admita que esse dado seja perfeitamente equilibrado e que, ao ser lançado, cada face tenha a mesma probabilidade de ser sorteada.

Calcule:

a) a probabilidade de obter um número primo ou múltiplo de 5, ao lançar esse dado uma única vez;

b) o número de vértices do poliedro.

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