PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

Uma sequência (a1, a2, a3, …, an) é uma progressão geométrica se, e somente se, cada termo, a partir do segundo, for igual ao produto do termo anterior por uma constante q denominada razão da P.G..
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Exemplos:


CALCULANDO A RAZÃO

As progressões geométricas que estudaremos são aquelas de termos não nulos e de razão diferente de zero. Assim, a partir da definição decorre de imediato que ,  e , ou, simplesmente, .

Classificação de uma PG:

Podemos classificar as progressões geométricas de quatro maneiras:

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A) Crescentes : cada termo é maior que o anterior.

B) Decrescentes: cada termo é menor que o anterior.

C) Constantes: cada termo é igual ao anterior.

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D) Oscilantes: cada termo tem sinal contrario ao do termo anterior.

O TERMO GERAL

Em uma geométrica de razão q, partindo do 1° termo, para avançar um termo basta multiplicar o 1° termo pela razão ; para avançar dois termos basta multiplicar o 1° termo pelo quadrado da razão ; para avançar três termos basta multiplicar o 1° termo pelo cubo da razão q  e assim por diante. Desse modo encontramos o termo de ordem n, denominado temo geral da PG, que é dado por:

(ao passar de  para , avançamos  termos)

Exemplos:

A) Calcule o sexto e o sétimo termo de uma progressão geométrica na qual  e .

Solução:

Aplicando a formula do termo geral  , temos que:


B) Determine o termo geral da PG

Solução:

Nessa PG, temos que  e 

Portanto o seu termo geral é:

C) Em uma progressão geométrica o quarto termo é 2 e o nono termo é 64, qual é o valor do sétimo termo?

Solução:



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PROPRIEDADES DAS PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

A) Numa PG, considerados três termos consecutivos, o termo central ao quadrado é igual ao produto dos dois termos adjacentes a ele. (média geométrica)

B) Numa PG finita de n termos, e sejam dois de seus termos, e sejam equidistantes dos extremos, isto é,

O produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos:

C) Numa PG com número ímpar de termos, o termo médio é a média geométrica dos extremos e, portanto, também é a média geométrica de qualquer par de termos equidistantes dos extremos.

FORMAS ESPECIAIS DE ESCRITA

PG com três termos:  razão q.

PG com quatro termos:     razão .

PG com cinco termos:    razão q.

Exemplos:

A) Três números estão em PG de forma que o produto deles é 729 e a soma é 39. Calcule estes números.

Solução:

Neste tipo de problema sobre PG é conveniente representar a sequência na forma . Assim temos o seguinte sistema de equações:


Simplificando o sistema encontramos:


Da primeira equação encontramos x = 9, substituindo na segunda equação, vem:



 ou 

Para e temos .

Para q=\\frac{1}{3} ex=9 temos .

B) Determine a PG de quatro termos, sabendo que o produto de todos os seus termos é 256 e o produto do segundo termo pelo quarto termo é 64.

Solução:

É conveniente representar uma PG de quatro termos da seguinte maneira:

Pelo enunciado temos que:


ou .

Como o produto do segundo termo pelo quarto termo é 64 temos que:



ou

Substituindo , por e ou, por  e  ou, por e  ou, , obtemos as seguintes progressões:

 ou 

INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA

Interpolar ou inserir k meios geométricos entre os números a e b dados, significa construir uma PG com k+2 termos, em que a é o primeiro termo e b é o último.


Geralmente resolve–se esse problema calculando–se a razão através do termo geral.

PRODUTO DOS TERMOS

Sendo a PG o produto Pn de seus n primeiros termos, é dado por:

 se o número de termos negativos for par.

 se o número de termos negativos for ímpar.

Se preferir, podemos calcular de uma forma que já nos dê a resposta com o sinal adequado:


Exemplos:

A) Interpole 3 meios geométricos entre  e .

Solução:

Inserindo três meios geométricos entre   e  formaremos uma PG com cinco termos, onde  e , temos então que  .

Para temos .

Para temos.

B) Inserindo cinco meios geométricos entre os números 9 e 576 obtém-se uma PG alternada. Determine a soma dos dois primeiros termos dessa sequência.

Solução:

Inserindo entre os números e cinco meios geométricos, obtemos uma PG de sete termos, tal que  e , temos então que:

(não serve, pois a PG é alternada)

O segundo termo dessa PG é

concluímos, portanto, que:

SOMA DOS TERMOS DE UMA PG FINITA

Consideremos uma PG de razão 

Sendo Sn a soma dos seus n termos, temos que:

Multiplicando ambos os membros por q, obteremos:

Subtraindo as duas equações, membro a membro, tiramos que:



Substituindo an por   podemos escrever que .

Observação:

Quando, temos que .

Exemplos:

1) Calcule a soma dos cinco primeiros termos da sequência

Solução:

A sequência (4, é uma PG tal que  e .

A Soma dos seus cinco primeiros termos é:



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