Razão e Proporção e Regra de Três

RAZÃO

A razão entre dois números a e b, nessa ordem, nada mais é que o quociente a/b, com (b ≠ 0).

Ex.: A razão entre 5 e 7 é .

A razão entre 4 e 6 é  ou .

PROPORÇÃO

Proporção é a igualdade de duas razões, ou seja, dados quatro números a, b, c e d (com b ≠ 0 e d ≠ 0), então:

 Proporção

Ex: A razão entre 5 e 10 é  e a razão entre 6 e 12 é , então:

  é uma proporção.

OBSERVAÇÃO

  logo, essas duas razões não formam uma proporção.

PROPRIEDADES

Dados os números a, b, c e d (com b ≠ 0 e d ≠ 0) e se , então:

 (quando ab tiver o mesmo sinal de cd).

OBSERVAÇÃO

Muito abordado em provas, o GNV (Gás Natural Veicular) ganhou grande destaque no cenário nacional na década passada, como uma importante alternativa para a população brasileira no que diz respeito ao consume de combustíveis. Mais econômico e mais rentável que o álcool e a gasolina, o GNV acabou sendo adquirido por muitos condutores sendo tema de muitas questões de vestibular.

EXERCÍCIO RESOLVIDO

01. (ENEM) O gás natural veicular (GNV) pode substituir a gasolina ou álcool nos veículos automotores. Nas grandes cidades, essa possibilidade tem sido explorada, principalmente, pelos táxis, que recuperam em um tempo relativamente curto o investimento feito com a conversão por meio da economia proporcionada pelo uso do gás natural. Atualmente, a conversão para gás natural do motor de um automóvel que utiliza a gasolina custa R$3.000,00. Um litro de gasolina permite percorrer cerca de 10 km e custa R$2,20, enquanto um metro cúbico de GNV permite percorrer cerca de 12 km e custa R$1,10. Desse modo, um taxista que percorra 6.000 km por mês recupera o investimento da conversão em aproximadamente:

a) 2 meses.
b) 4 meses.
c) 6 meses.
d) 8 meses.
e) 10 meses.

Resolução: B

A despesa com gasolina após n meses é dada por 6000/10 . n . 2,2 = 1320 . n, enquanto que a despesa com GNV após n meses é 6000/12 . n . 1,1 + 3000 = 550 . n . +3000.

Desse modo, para que o taxista recupere o investimento da conversão deve-se ter 1320 · n > 550 · n + 3000 ⇒ 770 · n > 3000 ⇒ n > 3,9, ou seja, o investimento trará retorno num prazo mínimo de 4 meses.

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS (GDP)

Uma grandeza A é dita diretamente proporcional a uma grandeza B se, e somente se, as razões entre os valores correspondentes de A e B forem constantes (coeficiente de proporcionalidade), ou seja, se A = (a₁,a₂,a₃,…) e B = (b₁,b₂, b₃, …), então:

(constante de proporcionalidade) 

Exemplo:

Quando comparamos a tabela de valores das grandezas preço (em R$) e peso (em kg) de um certo produto:

Notamos que:

= k = constante de proporcionalidade

Logo, nesse exemplo, o preço e o peso são grandezas diretamente proporcionais (G.D.P). Observe que se uma grandeza aumenta, a outra também aumenta, ou se uma grandeza diminui, a outra também diminui (na mesma proporção). Concluindo, uma grandeza afeta a outra de forma direta.

GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS (GIP) 

Uma grandeza A é dita inversamente proporcional a uma grandeza B, se, e somente se os produtos entre os valores correspondentes de A e B forem constantes (coeficiente de proporcionalidade), ou seja, se A = (a₁, a₂, a₃, …) e B = (b₁, b₂, b₃, …), então:

 k (coeficiente de proporcionalidade)

Exemplo

Quando comparamos a tabela de valores das grandezas velocidade (em km) e tempo (em h) de um certo veículo num determinado percurso:

Notamos que:

 coeficiente de proporcionalidade

Logo, nesse exemplo, a velocidade e o tempo são grandezas inversamente proporcionais (GIP). Observe que se uma grandeza aumenta, a outra grandeza diminui ou se uma grandeza diminui, a outra grandeza aumenta. Concluindo, uma grandeza afeta a outra de forma inversa.

OBSERVAÇÃO

Muitas situações remetem problemas interdisciplinares que envolvem a física e a matemática. A relação entre resistência elétrica, comprimento e área é muito bem explorada na situação a seguir que tem como principal objetivo identificar grandezas diretamente proporcionais e inversamente proporcionais.

EXERCÍCIO RESOLVIDO 

02. (ENEM) A resistência elétrica e as dimensões do condutor.

A relação da resistência elétrica com as dimensões do condutor foi estudada por um grupo de cientistas por meio de vários experimentos de eletricidade. Eles verificaram que existe proporcionalidade entre:

• resistência (R) e comprimento (L), dada a mesma secção transversal (A);

• resistência (R) e área da secção transversal (A); dado o mesmo comprimento (L);

• comprimento(L), e área da secção transversal (A); dada a mesma resistência (R).

Considerando os resistores como fios, pode-se exemplificar o estudo das grandezas que influem na resistência elétrica utilizando as figuras seguintes.

As figuras mostram que as proporcionalidades existentes entre resistência (R) e comprimento(L), resistência (R) e área da secção transversal (A); e entre comprimento(L) e área da secção transversal (A) são, respectivamente,

a) direta, direta e direta.

b) direta, direta e inversa.

c) direta, inversa e direta.

d) inversa, direta e direta.

e) inversa, direta e inversa.

Resolução: C

A constante e dobrando l temos r dobrado (l e R diretamente proporcionais).

l constante e dobrando A temos R dividido por 2 (inversamente proporcionais).

R constante e dobrando l temos A dobrado (diretamente proporcionais).

REGRA DE TRÊS

REGRA DE TRÊS SIMPLES 

Temos 2 tipos:

I. Direta (multiplica cruzado)

II. Inversa (multiplica reto)

EXERCÍCIO RESOLVIDO

03. (ENEM) Uma mãe recorreu à bula para verificar a dosagem de um remédio que precisava dar a seu filho. Na bula, recomendava-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2kg de massa corporal a cada 8 horas.

Se a mãe ministrou corretamente 30 gotas do remédio a seu filho a cada 8 horas, então a massa corporal dele é de:

a) 12 kg.

b) 16 kg.

c) 24 kg.

d) 36 kg.

e) 75 kg.

Resolução: A

Para definirmos se a relação entre as grandezas é direta ou inversa devemos compará-las, por exemplo:

Quanto mais peso, mais gotas!

Portanto é direta, podemos multiplicar cruzado.

2 . 30 = x . 5 ⇒ 5x = 60 ⇒ x = 12 kg

04.Com a velocidade de 75 Km/h, um ônibus faz um trajeto em 40 min. Devido a um congestionamento, esse ônibus fez o percurso de volta em 50 min. Qual a velocidade média desse ônibus?

Resolução:

Quanto mais veloz, menos tempo de viagem!
Portanto é inversa. Multiplicamos reto.

75 . 40 = 50 . x ⇒ x = 60 km/h

REGRA DE TRÊS COMPOSTA

Quando temos que fazer várias regras de três ao mesmo tempo, com grandezas direta e inversamente proporcionais.

A fração com a variável é sempre igual ao produto das outras todas frações, mantendo elas em caso de diretamente proporcional e invertendo as mesmas quando são inversamente proporcionais.

EXERCÍCIO RESOLVIDO

05. Uma indústria tem um reservatório de água com capacidade para 900m³. Quando há necessidade de limpeza do reservatório, toda a água precisa ser escoada. O escoamento da água é feito por seis ralos, e dura 6 horas quando o reservatório está cheio. Esta indústria construirá um novo reservatório, com capacidade de 500m³, cujo escoamento da água deverá ser realizado em 4 horas, quando o reservatório estiver cheio. Os ralos utilizados no novo reservatório deverão ser idênticos aos do já existente.

A quantidade de ralos do novo reservatório deverá ser igual a

a) 2

b) 4

c) 5

d) 8

e) 9

Resolução : C

Quanto mais capacidade, mais ralos.

Quanto mais horas, menos ralos.

06. Uma confecção possuía 36 funcionários, alcançando uma produtividade de 5 400 camisetas por dia, com uma jornada de trabalho diária dos funcionários de 6 horas. Entretanto, com o lançamento da nova coleção e de uma nova campanha de marketing, o número de encomendas cresceu de forma acentuada, aumentando a demanda diária para 21 600 camisetas. Buscando atender essa nova demanda, a empresa aumentou o quadro de funcionários para 96. Ainda assim, a carga horária de trabalho necessita ser ajustada.

Qual deve ser a nova jornada de trabalho diária dos funcionários para que a empresa consiga atender a demanda?

A)  1 hora e 30 minutos.

B)2 horas e 15 minutos.

C) 9 horas.

D) 16 horas.

E) 24 horas.

Resolução: C

Quanto mais funcionários, menos horas por dia.

Quanto mais camisetas, mais horas por dia.

Escala

Escala é a razão entre as dimensões representadas em um desenho e o objeto real por ele representado.

E = Representação/Real 

Por exemplo, se um mapa é representado por uma escala 1/20000, que também pode ser escrito como 1 : 20000, isso significa que a cada 1 cm do desenho representa 20000 cm no real.

E para indicar que cada centímetro de um mapa representa 10 metros na região real, podemos utilizar a escala 1 : 1000. Observe que foi necessário converter 10 metros para 1000 centímetros, pois as duas unidades de medidas precisam estar na mesma unidade.

TAMANHO DA ESCALA

Escala maior – menor área representada, mais detalhes.
Escala menor – maior área representada, menos detalhes.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

07. Um mapa de escala 1:300.000 apresenta uma distância de 15 cm entre os pontos A e B. Dessa forma, a correta distância entre esses dois pontos, na realidade, é:

a) 30 km
b) 45 km
c) 75 km
d) 90 km
e) 150 km

Resolução: B

15 × 300000 = 4.500.000 cm ⇒ 45 km

08. O esporte de alta competição da atualidade produziu uma questão ainda sem resposta: Qual é o limite do corpo humano?

O maratonista original, o grego da lenda, morreu de fadiga por ter corrido 42 quilômetros. O americano Dean Karnazes, cruzando sozinho as planícies da Califórnia, conseguiu correr dez vezes mais em 75 horas.

Um professor de Educação Física, ao discutir com a turma o texto sobre a capacidade do maratonista americano, desenhou na lousa uma pista reta de 60 centímetros, que representaria o percurso referido.

Se o percurso de Dean Karnazes fosse também em uma pista reta, qual seria a escala entre a pista feita pelo professor e a percorrida pelo atleta?

a) 1:700
b) 1:7.000
c) 1:70.000
d) 1:700.000
e) 1:7 000.000

Resolução: D

420 km = 42.000.000 cm
60:42.000.000
1:700.000

09. A figura apresenta dois mapas, em que o estado do Rio de Janeiro é visto em diferentes escalas.

Há interesse em estimar o número de vezes que foi ampliada a área correspondente a esse estado no mapa do Brasil.

Esse número é:
a) menor que 10.
b) maior que 10 e menor que 20.
c) maior que 20 e menor que 30.
d) maior que 30 e menor que 40.
e) maior que 40.

Resolução: D

Para ver em quanto aumentou a escala, basta dividir uma pela outra.

25.000.000/4.000.000 = 6,25

Contudo, esse aumento é linear. Como ele quer saber em quanto a ÁREA aumentou, devemos elevar ao quadrado.

(6,25)² = 39,0625