Trigonometria – Adição e subtração de arcos

Aprenda sobre Transformações Trigonométricas e Adição de Arcos.

Share on facebook
Share on twitter
Share on whatsapp
Share on email
Share on linkedin

TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Relembrando o plano de coordenadas cartesianas e ciclo trigonométrico, considere um ponto obtido pela marcação de um arco .

Toda ponto no plano é determinado por um par de coordenadas no caso desse ponto ser  extremidade de um arco de medida  centrado na origem ele pode ser descrito pelas coordenadas , nesse caso, o ponto P tem coordenadas .

De modo geral, qualquer ponto da circunferência é dado através das razoes trigonométricas dos arcos, sejam eles positivos ou, ainda, negativos.

Apesar de já conhecermos as razoes trigonométricas em todos os quadrantes usaremos como estratégia mostrar que as fórmulas são verdadeiras para valores positivos, cuja soma pertence ao primeiro quadrante para em seguida pensarmos em como generaliza-las pra valores quaisquer.

ADIÇÃO DE ARCOS.

Considere dois arcos positivos e do primeiro quadrante,  e , cuja soma ainda pertença ao primeiro quadrante.

Com isso, temos que ,  e  .

Queremos escrever o  em função das razões trigonométricas de  e .

Medicina 2020 Enem Plus

Assine agora por 12x de R$27,90 e garanta uma plataforma com preparação completa.

São aulas ao vivo, videoaulas gravadas, simulados, exercícios com resolução em vídeo, projetos especiais e mais. 😬

Para isso precisamos perceber alguns traços importantes.

Observando a figura, o ponto crucial para a demonstração é a percepção de que o angulo  é congruente ao ângulo . Além disso, temos que o  e , pois são lados opostos e paralelos (formam um retângulo).

Utilizando as já conhecidas razões trigonométricas podemos escrever alguns fatos:

No triângulo retângulo , obtemos:

No triângulo retângulo , obtemos:

No triângulo retângulo , obtemos:

Substituindo ambos os resultados na equação inicial podemos reescrevê-la da seguinte forma:


Agora, vamos descobrir como representar  e .

No triângulo retângulo , obtemos:

Substituindo na equação de  , obtemos:


Ou ainda, 

Exemplo

Calcule o valor de .

Resolução:

Observe que  portanto, podemos escrever que .

Aplicando a fórmula que acabamos de demonstrar, temos:



O

Para obtermos a fórmula do seno da diferença de dois arcos faremos uso de fatos já estudados em módulos anteriores.

Quando estudamos o ciclo trigonométrico vimos que   e também que .

Usando a ideia de que uma diferença pode ser reescrita como a soma com o simétrico   podemos utilizar a mesma fórmula já provada para obter o seno da diferença.

Veja:

Assim, temos:

Enem 2020 Plus

Assine agora por 12x de R$22,90 e garanta uma plataforma com preparação completa.

São aulas ao vivo, videoaulas gravadas, simulados, exercícios com resolução em vídeo, projetos especiais e mais. 😬

Substituindo o seno e o cosseno dos arcos negativos, vem:


Exemplo

Calcule o  .

Resolução:

Observe que  portanto, podemos escrever que .

Aplicando a fórmula que acabamos de demonstrar, temos:


Quando estudamos os triângulos retângulos tivemos o primeiro contato com a trigonometria conhecemos então, os arcos complementares.

Vimos que se  então o  e .

Nesse módulo escreveremos esse mesmo fato de outra forma mais conveniente.

Para encontrarmos o  faremos uso da fórmula já estudada dos senos.

Demonstração:

Reorganizando podemos utilizar de maneira eficaz a fórmula estudada anteriormente, veja:

Aplicando a fórmula de diferença de arcos, temos:

Como já relembramos os arcos complementares podemos fazer uma pequena substituição:

Portanto,  .

Exemplo

Calcule 

Solução:

Note que , dessa forma, podemos dizer que .

Aplicando a fórmula de adição de arcos, temos:

O processo para desenvolvermos a fórmula de subtração dos cossenos é semelhante a usada na subtração de arcos em senos.

Veja:


Substituindo o seno e o cosseno dos arcos negativos, temos:


Nem sempre essas fórmulas serão usadas para calcular senos e cossenos de ângulos conhecidos. Alguns exercícios precisarão dessas fórmulas apenas para simplificação ou para uma escrita mais conveniente de certas razões trigonométricas.

Exemplo:

Qual a forma mais simples da expressão ?

Solução

Vamos resolver independentemente cada um dos fatores apresentados:

Nesse caso, podemos utilizar a fórmula mas não é necessária visto que já estudamos a redução de quadrantes. (use a fórmula para verificar!)


Substituindo na expressão dada, temos:

Após descrevermos os métodos para seno e cosseno acima, nos resta buscar um método para as tangentes da soma e da diferença de arcos. O processo é bem mais simples.

Para começar, é necessário sabermos que , assim, .

Substituindo pelas fórmulas já demonstradas, temos:

CADASTRE-SE

E receba em primeira-mão todas as novidades dos Vestibulares, Ofertas, Promoções e mais!