Trigonometria – Ciclo trigonométrico

Aprenda sobre Ângulo Central e Arcos, Arcos de uma Volta, Círculo Trigonométrico, Arcos Côngruos e Linhas Trigonométricas.

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ÂNGULO CENTRAL E ARCOS.

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Ângulo central é aquele cujo vértice coincide com o centro da circunferência.

Arco de circunferência é um segmento qualquer da circunferência, limitado por dois de seus pontos distintos.

arco menor AB ou arco menor ACB.

arco maior AB ou arco maior ADB.

Quando não for especificado, o arco considerado será o menor.

Se numa circunferência de centro O, um ângulo central determina um arco AB, dizemos que AB é o arco correspondente ao ângulo AÔB.

UNIDADE DE MEDIDA DE ARCOS E ÂNGULOS.

A unidade de medida de arco do Sistema Internacional (SI) é o radiano, mas existem outras medidas utilizadas como o grau.

Radiano: Medida de um arco que tem o mesmo comprimento que o raio da circunferência na qual estamos medindo o arco.

Grau: Medida de um arco que corresponde a 1/360 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco.

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Os submúltiplos do grau são o minuto (‘) e o segundo (”).

Exercício resolvido

1) Determine a medida em radianos de um arco de comprimento igual a 15 cm, em uma circunferência de raio medindo 10 cm.

Solução:

med(AB) =

méd(AB) = 1,5 rad

ARCOS DE UMA VOLTA

Se o arco AB correspondente à volta completa de uma circunferência, a medida do arco é igual a , então:

med(AB) =

med(AB) =

RELAÇÃO ENTRE AS UNIDADES

Exercíciosresolvidos

1) Encontre o equivalente em radianos das medidas dos seguintes ângulos:

A)

B)

Solução:

A)

B)

2) Encontre o equivalente em graus das medidas dos seguintes ângulos:

A)

B)

Solução:

A)

B)

CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO.

Considere uma circunferência de raio unitário com centro na origem de um sistema cartesiano ortogonal e o ponto A = (1,0). O ponto A será tomado como a origem dos arcos orientados nesta circunferência e o sentido anti-horário será considerado positivo.

Os eixos cartesianos dividem o círculo trigonométrico em quatro arcos, chamados de quadrantes que são enumerados desta forma:

Quadrante

Abscissa (x)

Ordenada (y)

Ângulo (α)

1o (Q I)

positiva

positiva

0º< <90º

2o (Q II)

negativa

positiva

90º< <180º

3o (Q III)

negativa

negativa

180º< <270º

4o (Q IV)

positiva

negativa

270º< <360º

ARCOS CÔNGRUOS.

Dois arcos,e , são congruentes, ou côngruos, quando possuem a mesma extremidade, diferem apenas pelo número (n) de voltas. Por consequência a diferença de suas medidas é um múltiplo de 360o ou 2.

ou

Assim, n é um número inteiro.

Exercício resolvido.

4) Determinar em qual quadrante situam-se as extremidades dos arcos:

A)

Solução:

, pois

B)

Solução:

, pois

Usando a relação fundamental da divisão, temos

, ou seja, equivale ao resto da divisão.

Assim, o ângulo côngruo de 1290o é 210o.

C) – 280o Þ

Solução:

, pois

Como este arco está na 1ª volta negativa, basta fazer.

D)

Solução:

, pois

Usando a relação fundamental da divisão, temos

= , ou seja, equivale ao resto da divisão.

Basta fazer .

Assim, o ângulo côngruo de .

E)

Solução:

Como visto no exercício anterior .

F)

Solução:

Usando a relação fundamental da divisão, temos

, ou seja, equivale ao resto da divisão.

Assim, o ângulo côngruo de 660o é 300o.

LINHAS TRIGONOMÉTRICAS.

Analisando a figura abaixo e retirando dela o triângulo pequeno OAC, triângulo médio OBD e o triângulo maior FOE. Estabelecendo as razões trigonométricas, temos:

OD, OE e OA são raios do círculo trigonométrico e vale 1.

AC é o Seno do ângulo .

OC é o Cosseno do ângulo.

BD é a Tangente do ângulo .

OF é a Cossecante do ângulo .

OB é a Secante do ângulo .

EF é a Cotangente do ângulo .

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