TRIGONOMETRIA – LEIS DE SENOS E COSSENOS

Aprenda sobre Elementos do Triângulo Retângulo, Relações Métricas, Seno e Cosseno de Ângulos Obtusos, Lei dos Senos e Lei dos Cossenos.

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ELEMENTOS DO TRIÂNGULO RETÂNGULO

BC = hipotenusa (medida a)

AC = cateto (medida b)

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AB = cateto (medida c)

BH = projeção do cateto AB sobre a hipotenusa (medida m)

CH = projeção do cateto AC sobre a hipotenusa (medida n)

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AH = altura relativa à hipotenusa (medida h)

RELAÇÕES MÉTRICAS

A altura relativa a hipotenusa de um triangulo retângulo ABC o divide em dois triângulos retângulos semelhantes a ele e semelhantes entre si.


Como os três triângulos têm todos os ângulos congruentes, pelo 1°caso de semelhança temos que:

Da semelhança entre  segue que

Da semelhança entre segue que


Da semelhança entre  segue que

Agora, somando (1) e (3) encontraremos o teorema de Pitágoras, veja:

Observe a aplicação dessas conclusões nos exercícios Resolvidos.

SENO E COSSENO DE ÂNGULOS OBTUSOS

Relembrando algumas propriedades já aprendidas na trigonometria:

sen 90° = 1 e cos 90° = 0

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senos de ângulos obtusos são exatamente iguais ao senos do suplemento desses ângulos:

cossenos de ângulos obtusos são opostos aos cossenos dos suplementos desses ângulos:

LEI DOS SENOS

Em qualquer triangulo ABC, a medida dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos, e essa razão é igual ao diâmetro da circunferência que circunscreve o triangulo, ou seja:



Para demonstrar a Lei dos senos, tomamos um triangulo ABC qualquer inscrito em uma circunferência de raio r. A partir do ponto B pode-se encontrar um ponto diametralmente oposto D, e, ligando D a C formamos um novo triangulo BCD retângulo em C. Da figura, podemos perceber também que A=D, porque determinam na circunferência a mesma corda BC. Dessa forma,

Fazendo todo este mesmo processo para os ânulos B e C teremos as relações em que b é a medida do lado AC oposto a B, c é a medida do lado AB oposto a C e 2r é uma constante.

Logo podemos concluir que 

LEI DOS COSSENOS

Em um triangulo qualquer ABC de lados BC, AC e AB, que medem respectivamente a, b e c e com ângulos internos ,\\hat{B} e , valem as respectivas relações:

Para demonstrar a Lei dos cossenos vamos considerar um triangulo qualquer ABC e traçar primeiramente uma de suas alturas.

Considerando a figura podemos observar três triângulos: ABC, BCD e BAD

Destes podemos extrair as seguintes relações:

Usando o teorema de Pitágoras para obter uma relação entre os lados dos triângulos, temos:

Para BCD:

Para BAD:

Substituindo e em a^2=n^2+h^2 teremos:


Podemos então substituir , dessa maneira encontramos uma expressão geral da Lei dos cossenos:

Exercícios resolvidos.

1) Um triangulo retângulo tem seus lados medindo 3, 4 e 5.

Calcule sua altura.

Solução:

Sabe-se que num triangulo retângulo vale a seguinte relação: a . h = b . c, logo substituindo os valores temos que 5h = 12.

H = 2,4

2) Em um triangulo retângulo, as medidas de seus lados são 1,2\\,.

Determine a projeção do menor cateto sobre a hipotenusa.

Solução:

Sabe-se que em todo triangulo retângulo vale a relação:

, logo temos

o valor da projeção será .

3) Seja o triângulo ABC, mostrado na figura, onde . Calcular o raio do círculo circunscrito e o ângulo C.

Solução:

Pela Lei dos senos,, logo e desse modo .

Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º, calcularemos o ângulo A.

Pela Lei dos Senos, , de onde segue que

Como A é um dos ângulos do triângulo então A = 45º ou A = 135º.

Como B = 30°, da relação A + B + C = 180º, segue que A + C = 150° e temos duas possibilidades:

(1) A = 45º e C = 105º

(2) A = 135º e C = 15º

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