SISTEMAS LINEARES (ESCALONAMENTO)

Aprenda sobre Processos para Escalonamento de um Sistema Linear.

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Para escalonar um sistema linear, resolvê-lo e depois classificá-lo, alguns procedimentos podem ser feitos:

T1: um sistema de equações não se altera, quando permutamos as posições de duas equações quaisquer do sistema.

T2: um sistema de equações não se altera, quando multiplicamos ambos os membros de qualquer uma das equações do sistema, por um número real não nulo.

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T3: um sistema de equações lineares não se altera, quando substituímos uma equação qualquer por outra obtida a partir da adição membro a membro desta equação, com outra na qual foi aplicada a transformação T2.

ATENÇÃO:

Se no processo de escalonamento, obtivermos uma equação com todos os coeficientes nulos e o termo independente diferente de zero, esta equação é suficiente para se afirmar que o sistema é impossível, isto é, tem S = ø

Se no processo de escalonamento, obtivermos uma equação com todos os coeficientes nulos e o termo independente igual a zero, esta equação poderá ser eliminada. E todos os termos de números reais são soluções, ou seja, sistema indeterminado.

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Exercícios resolvidos

1) Resolva o sistema abaixo usando o escalonamento.

x + 3y – 2z = 3 (Equação 1)

2x – y + z = 12 (Equação 2)

4x + 3y – 5z = 6 (Equação 3)

Solução

1º. Tentar colocar o coeficiente do x na 1ª equação, igual a 1.

2º. Multiplicar a 1ª equação pelo simétrico do coeficiente x das 2ª e 3ª equações e somar respectivamente.

3º. Vamos montar o novo sistema com a 1ª equação original e as 2 novas.

4º. Vamos fazer um sistema com as 2 novas.

5º. Temos então:

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6º. Usando a última, temos:



7º. Vamos usar o z = 4 na 2ª equação e determinar o y.



8º. Usando , vamos determinar o x na 1º equação:





2) Os gráficos indicam a diversificação de aplicações para um investimento, por grau de risco, sugeridas por cada

um dos bancos A, B e C.

Um investidor decidiu aplicar um capital de R$ 6.000,00 em partes que foram distribuídas pelos três bancos, seguindo a diversificação do grau de risco sugerida por cada banco. O capital aplicado foi distribuído da seguinte forma:

total de R$ 1.000,00 no banco A (considerando os três graus de risco juntos);

R$ 2.700,00 em investimentos de baixo risco (nos três bancos juntos);

R$ 1.850,00 em investimentos de médio risco (nos três bancos juntos);

R$ 1450,00 em investimentos de alto risco (nos três bancos juntos).

O gráfico a seguir representa a diversificação da aplicação, por grau de risco, juntando os três bancos.

Calcule os montantes de capital que foram investidos nos bancos B e C, e as medidas dos ângulos α, β e γ, indicados no gráfico.

Solução:

Sabendo-se que foi investido R$ 1.000,00 no banco A seguindo a diversificação do grau de risco apresentada no gráfico, pode-se escrever:

Banco A:

baixo risco: 

médio risco: 

 alto risco:

Sabe-se ainda que foram aplicados:

R$ 2.700,00 em investimentos de baixo risco, sendo 80% no banco A (correspondente a R$ 800,00), 20% no banco B e 50% no banco C;

R$ 1.850,00 em investimentos de médio risco, sendo 15% no banco A (correspondente a R$ 150,00,) 70% no banco B e 10% no banco C;

R$ 1450,00 em investimentos de alto risco, sendo 5% no banco A (correspondente a R$ 50,00), 10% no banco B e 40% no banco C;

Sendo B e C o montante aplicado em cada um dos bancos, respectivamente, e com as demais informações do enunciado, pode-se escrever o seguinte sistema:

Assim, os montantes aplicados em cada banco foram de R$ 1.000,00 no banco A, R$ 2.000,00 no banco B e R$ 3.000,00 no banco C.

Para calcular os ângulos α, β e γ, indicados no gráfico pode-se utilizar a regra de três:

3) Se a terna (a, b, c) é solução do sistema , então calcule o valor numérico de (a + b + c)

Solução: 06.

Tomando a matriz ampliada do sistema e escalonando, obtemos

Portanto, o sistema escalonado equivalente é . Resolvendo esse sistema, obtemos facilmente  e . Portanto, segue que

4) Uma padaria possui 3 tipos de padeiros, classificados como A, B e C. Essa padaria é bem conhecida na cidade pela qualidade do pão francês, da baguete e do pão de batata.

Cada padeiro do tipo A produz, diariamente, 30 pães franceses, 100 baguetes e 20 pães de batata.

Cada padeiro do tipo B produz, diariamente, 30 pães franceses, 70 baguetes e 20 pães de batata.

Cada padeiro do tipo C produz, diariamente, 90 pães franceses, 30 baguetes e 100 pães de batata.

Quantos padeiros do tipo A, do tipo B e do tipo C são necessários para que em um dia a padaria produza, exatamente, 420 pães franceses, 770 baguetes e 360 pães de batata?

Apresente os cálculos realizados na resolução desta questão.

Solução:

Sejam a, b e c, respectivamente, o número de padeiros do tipo A, do tipo B e do tipo C. Temos  

Portanto, são necessários 5 padeiros do tipo A, 3 padeiros do tipo B e 2 padeiros do tipo C.

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