Na sequência (2, 6, 10, 14, 18, 22, 26,…) podemos notar que, somando 4 a cada termo obtemos o termo seguinte:

2 + 4 = 6

6 + 4 = 10

10 + 4 = 14

14 + 4 = 18

18 + 4 = 22

22 + 4 = 26

Sequências com essa característica em que, sempre somando o mesmo valor se obtém os próximos termos, receberão a partir de agora um tratamento especial. Elas serão chamadas de progressões aritméticas, como definiremos a seguir.

Definição

Chamamos progressão aritmética (P.A.) a toda sequência em que, somando uma mesma constante a cada termo, obtemos o termo seguinte. Esta constante é denominada razão da P.A., e será representada pela letra r.

Dessa forma, a sequência  (2, 6, 10, 14, 18, 22, 26)  é uma P.A. de razão r = 4.

Temos, por definição, que uma P.A. é uma sequência dada por uma lei de recorrência da forma:

a₁ = a

a_n = a_{n – 1} + r, n > 1

Ou seja, é uma sequência da forma:

(a, a + r, a + 2r, a + 3r, a + 4r, …)

Exemplo:

(0, 2, 4, 6, 8, 10, …) é uma P.A., com a₁ = 0 e r = 2.

(20, 15, 10, 5, 0, –5, …) é uma P.A. com a₁ = 20 e r = –5.

(10, 10, 10, 10, 10, …) é uma P.A. com a₁ = 10 e r = 0.

Classificação

Uma sequência de números reais cujos termos vão aumentando, isto é, onde cada termo é maior do que o anterior, é denominada sequência crescente. Se os termos vão diminuindo, isto é, cada termo é menor do que o anterior, a sequência é denominada decrescente. Quando todos os termos são iguais a sequência é denominada constante ou estacionária.

No caso das progressões aritméticas, verifica-se que uma P.A. de razão r é:

•  Crescente, se r > 0.

•  Decrescente, se r < 0.

•  Constante, se r = 0.

Fórmula do termo geral

Escrevendo o valor de cada termo de uma P.A. em função do primeiro termo a 1 e da razão r:

(a₁, a₁ + r, a₁ + 2r, a₁ + 3r, a₁ + 4r, …, a₁ + (n – 1) . r, …)

Vamos analisar o comportamento dos termos da sequência

a₂ = a₁ + 1 . r,

a₃ = a₁ + 2 . r,

a₄ = a₁ + 3 . r,

a₅ = a₁ + 4 . r

Note que, o coeficiente de  r   é sempre uma unidade menor do que o índice do termo geral à esquerda.

Dessa forma, temos

a_n = a₁ + (n–1) . r

VIDEO TEORIA:

Progressão aritmética – Definição e termo geral

Exemplos:

1) Em uma P.A. de primeiro termo a₁ = 10  e r = 2, o termo geral pode ser dado por:

a_n = 10 + (n – 1) . 2 = 10 + 2n – 2 = 2n + 8

Caso desejássemos encontrar o vigésimo termo, teríamos:

a₂₀ = 2 . 20 + 8 = 48

Classifica-se a P.A. acima como crescente (r > 0).

2) Na P.A. de primeiro termo –3 e razão igual a , calcule o trigésimo nono termo.

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3) José tem uma plantação de cenouras e todo dia, durante vinte dias ele colhe algumas delas. No primeiro dia ele colheu 5, no segundo dia 8 e no terceiro dia 11 cenouras. Mantendo o aumento do número de cenouras colhidas a cada dia dessa forma, quantas cenouras ele irá colher no último dia?

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4) Chico é funcionário da prefeitura de uma cidade, e foi escalado para fazer a manutenção em parte das placas de uma estrada. Essa estrada possui exatamente uma placa cada 3 quilômetros, de modo que existe uma placa no quilômetro zero, uma placa no quilômetro 3, uma placa no quilômetro 6, e assim sucessivamente. Se ele é responsável pela extensão da estrada que vai do quilômetro 20 até o quilômetro 100, determine o número de placas que Chico fará manutenção.

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5) Como intercalar 11 meios aritméticos entre 1 e 37?

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